Угол между двумя прямыми на плоскости

  • Угол между прямыми, заданными общими уравнениями
  • Угол между прямыми, заданными каноническими уравнениями
  • Угол между прямыми, заданными уравненями с угловым коэффициентом

Угол между прямыми, заданными общими уравнениями

Пусть две прямые и
заданы общими уравнениями

и .

Так как нормальным вектором прямой
является вектор , а нормальным вектором
прямой является вектор
, то задача об определении угла между прямыми
и
сводится к определению угла между векторами
и .

Из определения скалярного произведения и
из выражения в координатах длин векторов и и
их скалярного произведения получим

.  (1)

Итак, угол между прямыми, заданными общими уравнениями, определяется с помощью формулы (1).

Пример 1. Найти угол между прямыми, заданными общими уравнениями
и
.

Решение. Используя формулу (1), получаем:

Получаем угол .

Угол между прямыми, заданными каноническими уравнениями

Пусть две прямые и
заданы каноническими уравнениями

и .

Так как направляющими векторами прямых
и служат векторы
и , то
в полной аналогии со случаем, разобранным в предыдущем параграфе, мы получим следующую формулу для определения угла между прямыми:

.   (2)

Итак, угол между прямыми, заданными каноническими уравнениями, определяется с помощью формулы (2).

Пример 2. Найти угол между прямыми,
заданными каноническими уравнениями и
.

Решение. По формуле (2) находим:

Угол между прямыми, заданными уравненями с угловым коэффициентом

Пусть две прямые и
заданы уравнениями с угловым коэффициентом

и .

Если
и — углы наклона прямых
и
к оси Ox, то из элементарных соображений следует, что

.

Таким образом,

Получаем следующую формулу для определения угла между прямыми:

.   (3)

Пример 3. Найти угол между прямыми, заданными уравнениями с угловым коэффициентом
и
.

Решение. По формуле (3) находим:

.

Искомый угол

Ссылка на основную публикацию