Углы при параллельных прямых и их свойства — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые a и b. При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы при параллельных прямых и секущей

Углы 1 и 3 — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

angle 1=angle 3

angle 2=angle 4

Конечно, углы 5 и 7, 6 и 8 — тоже вертикальные.

Углы 1 и 2 — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна 180^{circ}.

Углы 3 и 5 (а также 1 и 7, 2 и 8, 4 и 6) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.

angle 3=angle 5,

angle 1=angle 7,

angle 2=angle 8,

angle 4=angle 6.

Углы 1 и 6 — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы 4 и 7 — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна 180^{circ}, то есть

angle 1+angle 6=180^{circ},

angle 4+angle 7=180^{circ}.

Углы 2 и 6 (а также 3 и 7, 1 и 5, 4 и 8) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

angle 2=angle 6,

angle 3=angle 7.

Углы 3 и 5 (а также 2 и 8, 1 и 7, 4 и 6) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

angle 3=angle 5,

angle 1=angle 7,

angle 2=angle 8,

angle 4=angle 6.

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 3:4, считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.

ПараллелограммНапомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть B mkern -2mu M — биссектриса тупого угла B. По условию, отрезки M mkern -3mu D и AB равны 3x и 4x соответственно.

Рассмотрим углы C mkern -2mu B mkern -2mu M и B mkern -2mu M mkern -2mu A. Поскольку AD и BC параллельны, B mkern -2mu M — секущая, углы C mkern -2mu B mkern -2mu M и B mkern -2mu M mkern -3mu A являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник ABM — равнобедренный, следовательно, AB = AM = 4x.

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть

7x + 7x + 4x + 4x = 88.

Отсюда x = 4, 7x = 28.

Ответ: 28.

2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 28^{circ} и 34^{circ}. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: 118^{circ}.

3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 50^{circ}? Ответ дайте в градусах.

Равнобедренная трапецияМы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на чертеж. По условию, alpha -beta =50^{circ}, то есть alpha =beta + 50^{circ}.

Углы alpha и beta — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

alpha + beta =180°.

Итак, 2beta +50^{circ}=180^{circ}

beta =65^{circ}, тогда alpha =115^{circ}.

Ответ: 115^{circ}.

Ссылка на основную публикацию