Тригонометрический круг — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

  • Тригонометрический круг

 

        Вот что мы видим на этом рисунке:

      1. Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит 360 градусов, или 2 pi радиан.
      2. Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси X, а значение синуса — на оси Y.
      3. И синус, и косинус принимают значения от -1 до 1.
      4. Значение тангенса угла alpha тоже легко найти — поделив sin alpha на cos alpha. А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.
      5. Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
      6. Синус — функция нечётная, косинус — чётная.
      7. Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен 2 pi.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

 

А теперь подробно о тригонометрическом круге:

Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями OX и OY , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

Мы отсчитываем углы от положительного направления оси OX против часовой стрелки.

Полный круг — 360 градусов.
Точка с координатами left( 1;0 right) соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами left( -1;0 right) отвечает углу в 180^{circ}, точка с координатами left( 0;1 right) — углу в 90^{circ}. Каждому углу от нуля до 360 градусов соответствует точка на единичной окружности.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси OX) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу alpha.

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси OY) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу alpha.

Например:

cosmkern 2mu 60^{circ}=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2};

cosmkern 2mu 0^{circ}=1;
sinmkern 2mu 45^{circ}=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{2}}{displaystyle 2};
sinmkern 2mu 240^{circ}=-genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 2}

Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса left( x right), синус — ордината left( y right). Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от -1 до 1:

-1leqslant cosmkern 2mualpha leqslant 1,
-1leqslant sinmkern 2mualpha leqslant 1.

Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

cos^2mkern 2mualpha+sin^2mkern 2mualpha=1

Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу alpha, смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по x (это косинус угла alpha) и по y (это синус угла alpha).

Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: 360 градусов, то есть полный круг, соответствует 2 pi радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол -30^{circ} — это угол величиной в 30^{circ}, который отложили от положительного направления оси x по часовой стрелке.

Легко заметить, что

cosmkern 2muleft( -alpha right)=cosmkern 2mualpha,
sinmkern 2muleft( -alpha right)=-sinmkern 2mualpha.

Углы могут быть и больше 360 градусов. Например, угол 732^{circ} — это два полных оборота по часовой стрелке и еще 12^{circ}. Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по x и по y, значения синуса и косинуса повторяются через 360^{circ}. То есть:

cosmkern 2muleft( alpha +360^{circ}cdot n right)=cosmkern 2mualpha,
sinmkern 2muleft( alpha +360^{circ}cdot n right)=sinmkern 2mualpha,

где n — целое число. То же самое можно записать в радианах:

cosmkern 2muleft( alpha +2pi n right)=cosmkern 2mualpha,
sinmkern 2muleft( alpha +2pi n right)=sinmkern 2mualpha.

Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

tgmkern 2mualpha=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sinmkern 2mualpha}{displaystyle cosmkern 2mualpha},

ctgmkern 2mualpha=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle cosmkern 2mualpha}{displaystyle sinmkern 2mualpha}.

В результате получим следующую таблицу.

varphi 0 genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 6} genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 4} genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 3} genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2} genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2 pi}{displaystyle 3} genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 3 pi}{displaystyle 4} genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 5 pi}{displaystyle 6} pi
tgmkern 2muvarphi 0 genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}} 1 sqrt{3} не существует -sqrt{3} -1 -frac{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}} 0
ctgmkern 2muvarphi не существует sqrt{3} 1 genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}} 0 -frac{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}} -1 -sqrt{3} не существует

 

Ссылка на основную публикацию