Трапеция. Свойства, признаки, площадь. Средняя линия трапеции — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.

Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

S= genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2} left( a+b right) cdot h

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям, а длина ее равна полусумме оснований:

m= genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2} left( a+b right)

Как видим, теория очень проста. А задачи, в которых применяются свойства трапеции, весьма разнообразны. В этой статье разобраны и стандартные задачи (номер 1 и 2), и более интересные.

1. Найдите высоту трапеции ABC mkern -2mu D, опущенную из вершины B, если стороны квадратных клеток равны sqrt{2}.

 

Рисунок к задаче 1

 

Высота трапеции — это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Проведем высоту из вершины B.

Ответ: 2.

2. Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150. Найдите площадь трапеции.

Рисунок к задаче 2

Это стандартная задача. Углы ABC и B mkern -2mu AH — односторонние, значит, их сумма равна 180^{circ}, и тогда угол B mkern -2mu AH равен 30^{circ}. Из треугольника AB mkern -2mu H найдем высоту B mkern -2mu H. Катет, лежащий напротив угла в 30^{circ}, равен половине гипотенузы. Получаем, что B mkern -2mu H=3,5 и площадь трапеции равна 42.

3. Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

Рисунок к задаче 3

Скажите, что вы видите на чертеже? Можно сказать, что изображена трапеция ABC mkern -2mu D, и в ней проведена средняя линия. А можно увидеть и другое — два треугольника, ABC и AC mkern -2mu D, в которых проведены средние линии.

Мы помним, что средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна половине этой стороны.

Из треугольника ACD находим: x=5.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

В следующей задаче мы тоже воспользуемся свойством средней линии треугольника.

4. Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Рисунок к задаче 4

Проведем PQ — среднюю линию трапеции, PQ=2,5. Легко доказать, что отрезок MN, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии. Дальше все просто. Найдем отрезки PM и NQ, являющиеся средними линиями треугольников ABC и BC mkern -2mu D, а затем отрезок MN. Он равен 0,5.

5. Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 4, отсекает треугольник, периметр которого равен 15. Найдите периметр трапеции.

Рисунок к задаче 5

Периметр треугольника равен сумме его сторон, то есть a+b+c.

Периметр трапеции равен a+b+4+c+4.

Заметим, что периметр трапеции на 8 больше, чем периметр треугольника. Значит, он равен 15 + 8 = 23.

Ответ: 23.

Ссылка на основную публикацию