Сумма углов треугольника: чему равна и как найти? — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Сумма треугольника равна 180 градусов.

Это легко доказать. Нарисуйте треугольник. Через одну из его вершин проведите прямую, параллельную противоположной стороне, и найдите на рисунке равные углы. Сравните с решением в конце статьи.

Сумма углов треугольника

А мы разберем задачи ЕГЭ, в которых фигурирует сумма углов треугольника.

1. Один из внешних углов треугольника равен 85 градусов. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2:3. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Следовательно, сумма двух других углов треугольника равна 85 градусов, а их отношение равно 2:3. Пусть эти углы равны 2х и 3х.  Получим уравнение

2x+3x=85 и найдем x=17.

Тогда 3x=51.

Ответ: 51.

2. Один из углов равнобедренного треугольника равен 98 градусов. Найдите один из других его углов. Ответ дайте в градусах.

Как вы думаете, может ли равнобедренный треугольник иметь два угла по 98 градусов?

Нет, конечно! Ведь сумма углов треугольника равна 180 градусов. Значит, один из углов треугольника равен 98^{circ}, а два других равны genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 180-98}{displaystyle 2}=41^{circ}.

Ответ: 41.

3. На рисунке угол 1 равен 46^{circ}, угол 2 равен 30^{circ}, угол 3 равен 44^{circ}. Найдите угол 4. Ответ дайте в градусах.

Рисунок 1

Давайте отметим на чертеже еще несколько углов. Они нам понадобятся.

Рисунок 2

Сначала найдем угол 5.

Он равен 180^{circ}-angle 1-angle 3 = 90^{circ}

Тогда angle 6= 90^{circ}

angle 7=180^{circ}-angle 2-angle 6=60^{circ},

Угол 4, смежный с углом 7 равен 120^{circ}.

Ответ: 120^{circ}.

Заметим, что такой способ решения — не единственный. Просто находите и отмечайте на чертеже все углы, которые можно найти.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

4. Углы треугольника относятся как 2:3:4. Найдите меньший из них. Ответ дайте в градусах.

Пусть углы треугольника равны 2x, 3x и 4x. Запишем, чему равна сумма углов этого треугольника.

2x+3x+4x=180^{circ}

9x=180^{circ}

x=20^{circ}

Тогда 2x=40^{circ}.

Ответ: 40.

Как же все-таки доказать, что сумма углов треугольника равна 180 градусов? Очень просто. На нашем рисунке угол 1 равен углу A (они накрест лежащие). Угол 2 равен углу C (тоже накрест лежащие). Развернутый угол равен 180^{circ}. Значит, и сумма углов треугольника тоже равна 180 градусов.

Ссылка на основную публикацию