Стереометрия на ЕГЭ. Приемы и секреты.

Вы уже знаете, что задачи по стереометрии в первой части ЕГЭ на самом деле простые. Правильный чертеж, элементарная логика, внимательность, плюс некоторые приемы, о которых мы рассказали в первой части статьи и еще расскажем — вот и всё, что вам нужно. Перейдем сразу к практике.


Рисунок к задаче 11. Объем параллелепипеда равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды ABmkern -3muDmkern -3muA_1.

Мы помним, что объем параллелепипеда равен S_{OCH} cdot h. А объем пирамиды равен genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 3}S_{OCH} cdot h. Иными словами, если у параллелепипеда и пирамиды одинаковые основания и одинаковые высоты, то объем пирамиды будет в три раза меньше, чем объем параллелепипеда. А у нашей пирамиды еще и площадь основания в два раза меньше. Значит, ее объем в шесть раз меньше объема параллелепипеда.

Ответ: 1,5.


Рисунок к задаче 22. Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Об одном из способов решения этой задачи мы уже рассказали. Посчитайте, сколько нужно четырехугольных пирамидок, чтобы сложить из них такой кубик.

Есть и второй способ. Если бы пирамида и куб имели одинаковые высоты, объем пирамиды был бы в 3 раза меньше объема куба (поскольку площади основания у них одинаковые). А у нашей пирамиды высота в два раза меньше, чем у куба. Значит, ее объем будет в 6 раз меньше, чем у куба.

Ответ: 2.


3. Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

На самом деле это задача по алгебре, причем элементарная. Объем шара равен genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 4}{displaystyle 3} pi R^3. Осталось решить уравнение:

genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 4}{displaystyle 3} pi 6^3+genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 4}{displaystyle 3} pi 8^3+genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 4}{displaystyle 3} pi 10^3=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 4}{displaystyle 3} pi R^3

6^3+8^3+10^3=R^3

R^3=1728

Как извлечь кубический корень из этого числа? Очень просто — разложите его на множители.

1728=8 cdot 216=2^3 cdot 6^3

R=2 cdot 6 = 12

Ответ: 12.


Рисунок к задаче 44. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен sqrt{3}.

Мы говорили, что в основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный треугольник. У него все углы равны 60^{circ} и все стороны тоже равны. Площадь его проще всего найти по формуле
S=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}a^2 sin 60^{circ}. Она равна sqrt{3}. Поскольку V=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 3}Sh,
высота равна 3.


5.Рисунок к задаче 5 Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов. В ответе укажите V.

Если вы вдруг забыли, что такое образующая, — смотрите нашу таблицу с формулами. А что значит «наклонена к плоскости основания»? Вспомним, что угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, то есть угол Omkern -3muAS.

Из прямоугольного треугольника AOmkern -3muS находим, что Omkern -3muS=h=1, AO=R=sqrt{3}. Объем конуса найдем по известной формуле и поделим на pi.
Ответ: 1.


6. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны 2sqrt{3} и наклонены к плоскости основания под углом 30 градусов.


Нарисуйте вид сверху, то есть правильный шестиугольник. У него все стороны равны, все углы тоже равны.



Как найти площадь правильного шестиугольника, если специальную формулу вы не знаете? Проще всего разбить его на 6 одинаковых равносторонних треугольников. Формула площади равностороннего треугольника вам известна:
S=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}a^2 sin 60^{circ}.

Итак, площадь основания равна 6sqrt{3}. Осталось найти высоту.


Высота призмы — это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Из прямоугольного треугольника АСН находим:
h=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}AC=sqrt{3}.

Ответ: 18.


7.Рисунок к задаче 7 Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна sqrt{2} и образует углы 30, 30 и 45 градусов с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

Мы уже говорили, что угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Обозначим вершины параллелепипеда.

Рисунок к задаче 7

Проекцией диагонали Bmkern -3muD_1 на нижнее основание будет отрезок Bmkern -3muD. Пусть диагональ образует угол 45 градусов именно с плоскостью нижнего основания.
Рассмотрим прямоугольный треугольник Bmkern -3muD mkern -3muD_1. По теореме Пифагора, Bmkern -3muD=Bmkern -3muD_1 cdot sin 45^{circ}=1. Итак, мы нашли высоту параллелепипеда.

Проекцией Bmkern -3muD_1 на переднюю грань будет отрезок A_1B.
Из прямоугольного треугольника A_1Bmkern -3muD_1 найдем A_1mkern -3muD_1=Bmkern -3muD_1 cdot sin 30^{circ}=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{2}}{displaystyle 2}. Мы нашли ширину параллелепипеда. А его длина (то есть отрезок C_1mkern -3muD_1) находится аналогично. Она тоже равна genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{2}}{displaystyle 2}. Объем параллелепипеда равен genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}.

Ответ: 0,5.


8.

Рисунок к задаче 8
Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.

Если решать «в лоб», считая, что ABC — основание, то у нас получится задача по стереометрии из второй части ЕГЭ. Но зачем такие сложности? Развернем пирамиду.

Объем пирамиды равен genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 3}S_{OCH}h. В основании лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого равна 4,5. Тогда объем пирамиды равен 4,5.

Ответ: 4,5.


9.Рисунок к задаче 9 Объем треугольной пирамиды Smkern -2muABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды Smkern -2muABCmkern -3muDmkern -2muEmkern -2muF, равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.

У треугольной и шестиугольной пирамид, о которых говорится в условии, одинаковые высоты. Разные только площади основания. Нарисуем вид снизу.

Видим, что площадь основания треугольной пирамиды в 6 раз меньше, чем у шестиугольной.

Ответ: 6.

Если в условии задачи по стереометрии дан рисунок — значит, повезло. Рисунок — это уже половина решения. А если его нет? Значит, рисуйте сами, как умеете. Отговорки «не умею» или «рисование у нас было только в детском саду» — не принимаются. Вам ведь не девочку на шаре надо изобразить, а намного более простые объекты 🙂


10. Середина ребра куба со стороной 1,9 является центром шара радиуса 0,95. Найдите площадь части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите S.

Обратите внимание, что 0,95 cdot 2=1,9. Значит, сторона куба является диаметром шара. Осталось понять, какая часть шара лежит внутри куба.

Правильный ответ: 0,9025.


11. Вершина A куба ABCDA_1B_1C_1D_1 со стороной 1,6 является центром сферы, проходящей через точку A_1. Найдите площадь S части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину S.

Здесь главное — понять, какая часть шара лежит внутри куба. Порисуйте кубики и шарики. Пока есть возможность, возьмите яблоко (оно почти шарообразной формы), потренируйтесь. Жаль, что на ЕГЭ вам не выдадут килограмма яблок для отработки пространственного мышления.

Правильный ответ: 1,28.

Если вы его не получили, смотрите подсказку в конце статьи.


12. Рисунок  к задаче 12Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Прежде всего, что значит «точка делит боковое ребро в отношении 1:2, считая от вершины»? Это значит, что она делит его на отрезки, длины которых x и 2x.

Плоскость ABmkern -2muM делит пирамиду ABCmkern -2muS на две. У пирамид ABCmkern -2muM и ABCmkern -2muS общее основание ABC. Ясно, что отношение их объемов равно отношению высот.

Проведем перпендикуляры SO и Mmkern -3muH к плоскости основания пирамиды. SO — высота пирамиды ABCmkern -2muS, Mmkern -3muH — высота пирамиды ABCmkern -2muM. Очевидно, что отрезок SO параллелен отрезку Mmkern -3muH, поскольку два перпендикуляра к одной плоскости параллельны друг другу. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, причем только одну. Итак, точки M, S, C, O и H лежат в одной плоскости, то есть мы от стереометрической задачи перешли к плоской, планиметрической.

Треугольники SOC и Mmkern -3muHmkern -3muC подобны, MC:SC=Mmkern -3muH:SO=2:3.

Значит, Mmkern -3muH=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2}{displaystyle 3}SO. Объем пирамиды ABCmkern -2muM равен genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2}{displaystyle 3} объема пирамиды ABCmkern -2muS.

Ответ: 10.


13.Рисунок  к задаче 13 Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

Прежде всего, все ребра равны, значит, тетраэдр — правильный. В его основании лежит равносторонний треугольник, а вершина проецируется в центр этого треугольника.

Как вы думаете, какая фигура получится в сечении?

Заметим, что отрезок Kmkern -3muL параллелен BS (поскольку является средней линией треугольника ASmkern -3muB. И отрезок Mmkern -3muN тоже параллелен BS, потому что является средней линией треугольника BSC. Значит, Kmkern -3muL параллелен Mmkern -3muN. Аналогично LM параллелен Kmkern -3muN. Мы помним, что средняя линия треугольника не только параллельна основанию — она равна половине основания. А у нашего тетраэдра все ребра равны. Значит, Kmkern -3muLmkern -3muMmkern -3muN — ромб, все стороны которого равны 0,5. Уже хорошо.

Мы уже сказали, что у правильного тетраэдра вершина (точка S) проецируется в центр основания (точка O). В основании — правильный треугольник. Значит, точка O будет точкой пересечения биссектрис, медиан и высот этого треугольника, и тогда Omkern -3muB перпендикулярен AC.

Вспомним теорему о трех перпендикулярах. Omkern -3muB является проекцией Smkern -2muB на плоскость основания, следовательно, отрезок Smkern -2muB тоже перпендикулярен AC. И тогда Kmkern -3muLmkern -3muMmkern -3muN — квадрат. Его площадь равна 0,25.

А теперь — самые сложные задачи по стереометрии из первой части варианта ЕГЭ. Для их решения существуют секретные приемы. Конечно же, лучше знать их заранее, чем изобретать на экзамене.


14.Рисунок  к задаче 14 Объем тетраэдра равен 1,9. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

Можно долго искать формулу объема октаэдра (а именно он там и находится, в серединке), а можно поступить умнее. Помните, как в задаче B6 мы считали площадь неудобно расположенных фигур?

Здесь проще всего посчитать площадь квадрата со стороной 5, в который вписан данный треугольник. И вычесть из нее площади трех прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке?

В нашей задаче про тетраэдр и многогранник можем поступить аналогично. Как получился этот многогранник в серединке? От исходного тетраэдра отрезали четыре маленьких тетраэдра, объем каждого из которых в 8 раз меньше, чем объем большого (об этом мы уже говорили). Получаем: V-genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 4}{displaystyle 8}V=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}V.

Ответ: 0,95.


15.Рисунок  к задаче 15 Объем параллелепипеда равен 4,5. Найдите объем треугольной пирамиды AD_1mkern -2muCmkern -2muB_1.

Обратите внимание, нарисован куб, а написано — параллелепипед. Мы знаем, что его объем равен 4,5, но не знаем, чему равны его длина, ширина и высота. Обозначим их a, b и c. Не так-то просто найти площадь основания и высоту пирамиды AD_1mkern -2muCmkern -2muB_1. Так может, и не надо этого делать? Есть более удобный способ — тот же, что и в предыдущей задаче. Ведь пирамида AD_1mkern -2muCmkern -2muB_1 получается, если мы отрежем от параллелепипеда четыре пирамиды по углам — ABCmkern -2muB_1, D_1B_1CC_1, AA_1D_1B_1 и ADCmkern -2muD_1. А объем каждой из них легко посчитать — мы делали это в первой задаче этой статьи. Например, объем пирамиды ABCmkern -2muB_1 равен genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 6} объема параллелепипеда. Объем четырех всех пирамид, которые отрезали, равен genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2}{displaystyle 3} объема параллелепипеда. Значит, объем пирамиды AD_1mkern -2muCmkern -2muB_1 равен genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 3} объема параллелепипеда.

Ответ: 1,5.

Поздравляем! Задачи по стереометрии из первой части ЕГЭ по математике освоены — от простых до самых сложных. Заходите чаще на наш сайт.

Подсказка к задаче 11:


Ссылка на основную публикацию