Прямоугольный треугольник. Решения

Задачи на треугольник бывают простые, сложные и очень сложные. Если имеем прямоугольный треугольник то формулы для вычисления площади, катетов, радиусов вписанной и описанной окружности несколько упрощаются. Ниже приведены решения примеров на любой вкус, анализируйте их — возможно они помогут Вам в учебе.

Задача 1. Найдите синусы острых углов и гипотенузу прямоугольного треугольника если его катеты равны: а ) 6 см и 8 см; б) 4 см и 7 см.

Решение. Применим теорему Пифагора к заданным катетам
теорема Пифагора

Для задания а) гипотенуза равна

та для б) соответственно
гипотенуза

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению катета напротив угла к гипотенузе.
синус угла
.

Рисунок с необходимыми формулами для синусов и формулой Пифагора приведен ниже

прямоугольный треугольник

Вычисляем синусы искомых углов
а) синус угла, вычислениясинус угла, вычисления
б)синус угла, вычислениясинус угла, вычисления

На этом пример завершен.

————————

Задача 2. Найдите катеты прямоугольного треугольника если его гипотенуза и второй катет соответственно равны: а ) 15 см и 9 см; б) 8 см и 4 см.

Решение. На основе теоремы Пифагора получим
катет, формула

Подставляем значения
а)  катет, вычисления
б) катет, вычисления

Ответ: Катеты треугольника равны 12 см и см.

————————

Задача 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 17 см. Один из катетов на 7 см меньше гипотенузы. Определиите катеты треугольника.

Решение. Для заданного примера и подобных ему необходимо составлять уравнения. В этом примере обозначим через
x – большой катет. Тогда x-7 – меньший катет.

По формуле Пифагора имеем
уравнение
квадратное уравнение

Делим на два и решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта
квадратное уравнение
дискриминант
корни уравнения

Второй корень уравнения исключаем, поскольку он противоречит условию задачи. Таким образом один катет равен 15 см, а второй – 15-7=8 см.

Ответ: Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 8 см.

————————

Задача 4. Вычислите длину высоты равностороннего треугольника сторона которого равна 12 см.
Решение. Если треугольник равносторонний то высота делит основание пополам. Кроме этого высота является перпендикуляром. Таким образом задача состоит в нахождении катета когда известно, что гипотенуза равна 12 см, а второй катет – 12/2=6 см.

По теореме Пифагора вычисляем
высота треугольника

Ответ: Катет равен катет см.

————————

Задача 5. Сторона квадрата равна 7 см. Определите длину диагонали.
Решение. Поскольку стороны квадрата равны то нужно найти гипотенузу прямоугольного равнобедренного
треугольника с катетами длиной 7 см. Используем известную формулу Пифагора

гипотенуза

Ответ: Диагональ квадрата равна диагональ квадрата см.

————————

Задача 6. Большая диагональ и большая основа прямоугольной трапеции равны соответственно 8 см и 6 см. Найдите длину меньшей боковой стороны трапеции.

Решение. Рассмотрим вспомогательный рисунок трапеции.

прямоугольная трапеция

По условию известна диагональ BD=8 см и AD=6 см. Катет AB прямоугольного треугольника находим по формуле
катет

Ответ: Сторона трапеции равна сторона трапеции см.

————————

Задача 7. В треугольнике АВС угол В = 90 градусов, ВD перпендикулярна АС, АВ = 16 см, ВС = 12 см. Найдите длину отрезка АD и тангенс угла при основании.

Решение. Рассмотрим вспомогательный рисунок к заданию.

прямоугольный треугольник

Составим пропорции для отыскания отрезка AD
уравнения

Второе уравнение построим на основе теоремы Пифагора
теорема Пифагора

Думаю выше Вам все понятно. Следующим шагом подставляем DC и значение катетов в уравнение

вычисления
вычисления

Отрезок найдено, тангенс угла А находим по формуле
тангенс угла

Определим длину гипотенузы — для этого найдем неизвестную часть DC
отрезок

Гипотенуза равна сумме AD+DC
гипотенуза

Вычислим тангенс угла при основании
тангенс

Ответ: AD=80/7, tan(A)=0,8.

————————

Задача 8. Периметр прямоугольного треугольника равен 12 см, а один из из его катетов — 3 см. Найдите площадь
треугольника.

Решение. Данный пример на сложение уравнения с неизвестными.
Первое уравнение соответствует формуле периметра треугольника, второе — теореме Пифагора.
Обозначим b – неизвестный катет, с – гипотенуза треугольника.

Составляем систему уравнений
система уравнений

Имеем два уравнения с двумя неизвестными. Метод решения Вам известен: из первого уравнения выражаем одну из переменных и подставляем во второе. В результате после упрощений получим квадратное уравнение один из корней которого и будет решением. Второй получим в результате подстановки в первую зависимость системы уравнений.

У меня получилось что b=4 см, c=5 см.
Если не верите то можете пройти описанные выше процедуры.
Площадь находим как половину произведения катетов
площадь

Ответ: площадь треугольника 6 сантиметров квадратных.

————————

Задача 9. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 4 см. Найти радиус вписанной и описанной окружности.

Решение. Радиус описанной окружности найти легче — он равен половине гипотенузы. Вычисляем ее длину по теореме Пифагора

теорема Пифагора

Отсюда находим больший радиус
радиус описанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно найти несколькими способами.
Пойдем простым и определим его на основе формулы площади треугольника
площадь треугольника через радиус

Как видите вычислить радиус вписанной окружности достаточно просто. Находим площадь треугольника
площадь треугольника
и подставляем в предыдущую формулу
радиус вписанной окружности

Вот такой сложный на восприятие пример легко решается при знании необходимых формул.

Ответ: радиусы описанной и вписанной окружности равны 2,5 см и 1 см соответственно.

————————

Изучайте формулы основных геометрических фигур, набирайтесь опыта на практике и со временем примеры будете решать без труда. Если же не удается решить пример или задачу, или непонятно условие задачи обращайтесь к специалистам. На этом сайте и подобных интернет ресурсах Вы всегда можете решить любую сложную задачу.

Посмотреть материалы

Ссылка на основную публикацию