Правильный треугольник, площадь правильного треугольника — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Правильный треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. Каждый угол правильного треугольника равен 60 градусов.
Правильный треугольник называют еще равносторонним.

Правильный треугольник

Каждая из высот правильного треугольника является также его медианой и биссектрисой.
Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Пусть сторона правильного треугольника равна a.

Высота правильного треугольника: h=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 2} a
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: r=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 6} a.
Радиус описанной окружности в два раза больше: R=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 3} a.
Площадь правильного треугольника: S=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 4} a^2.

Все эти формулы легко доказать. Если вы нацелены на решение задач части C — докажите их самостоятельно.

1. Сторона правильного треугольника равна sqrt{3}. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Задача решается в одну строчку. Радиус вписанной окружности r=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 6} a=0,5.

2. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 6.

Рисунок к задаче 2

Сравним формулы для высоты правильного треугольника и радиуса вписанной окружности. Очевидно, радиус вписанной окружности равен genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 3} высоты.

Ответ: 2.

3. Сторона правильного треугольника равна sqrt{3}. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Рисунок к задаче 3

Радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 6}a.

Ответ: 1.

Ссылка на основную публикацию