Правильный треугольник, площадь правильного треугольника — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Правильный треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. Каждый угол правильного треугольника равен $60$ градусов.
Правильный треугольник называют еще равносторонним.

Правильный треугольник

Каждая из высот правильного треугольника является также его медианой и биссектрисой.
Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Пусть сторона правильного треугольника равна $a$ .

Высота правильного треугольника: $h=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 2} a$
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: $r=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 6} a$ .
Радиус описанной окружности в два раза больше: $R=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 3} a$ .
Площадь правильного треугольника: $S=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 4} a^2$ .

Все эти формулы легко доказать. Если вы нацелены на решение задач части $C$ — докажите их самостоятельно.

$1$ . Сторона правильного треугольника равна $sqrt{3}$ . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Задача решается в одну строчку. Радиус вписанной окружности $r=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 6} a=0,5$ .

$2$ . Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна $6$ .

Рисунок к задаче 2

Сравним формулы для высоты правильного треугольника и радиуса вписанной окружности. Очевидно, радиус вписанной окружности равен $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 3}$ высоты.

Ответ: $2$ .

$3$ . Сторона правильного треугольника равна $sqrt{3}$ . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Рисунок к задаче 3

Радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 6}a$ .

Ответ: $1$ .

Оставить комментарий

Свежие комментарии

alex в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “а что именно?” Апр 24, 18:31
alex в Иррациональные уравнения на примерах: “Ну эти уравнения не очень сложны, но рассказано очень хорошо про иррациональные уравнения - здесь я согласен!” Апр 24, 18:15
Константин в Иррациональные уравнения на примерах: “То чувство, когда всё разложено по полочкам и кажется очень просто, но на практике начинаются сложности. Математика требует не только…” Апр 15, 17:47
Настя в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “Реально помогло решить задачи дочке)” Апр 15, 17:43
Сергей в Квадратные уравнения. Примеры решения: “Никогда не был предрасположен к точным наукам. Вроде бы и примеры не сложные, но по истечении лет, и они вызывают…” Апр 15, 17:40