Полярная система координат: основные понятия и примеры

  • Полярная система координат: основные понятия и обозначения
  • Связь полярных координат с декартововыми координатами
  • Задачи о точках в полярной системе координат

Полярная система координат: основные понятия и обозначения

Если уж речь зашла о полярной системе координат, то вообразите себя полярниками,
стоящими на Северном полюсе. Или на Южном (это не так важно). Пусть в точке полюса находится начало линейки.
В точку полюса также положим начало карандаша, а весь карандаш полностью прилегает к линейке. Теперь
повернём карандаш так, чтобы его начало оставалось там же, на полюсе, а между ним и линейкой образовался
некоторый угол поворота. Конец карандаша оказался в некоторой точке, назовём её M. Вот мы и
получили полярные координаты точки M: длина карандаша и угол, на который был повёрнут карандаш.
А теперь об этом же в более строгих и точных определениях.

Полярная система координат
определяется заданием некоторой точки O, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча
OA (обозначается также и как Ox), называемого полярной осью, и масштаба для изменения длин. Кроме того, при задании
полярной системы координат должно быть определено, какие повороты вокруг точки O считаются
положительными (на чертежах обычно положительными считаются повороты против часовой стрелки).

положение точки в полярной системе координат

Итак, выберем на плоскости (рисунок выше) некоторую точку O (полюс) и некоторый выходящий из
неё луч Ox. Кроме того, укажем единицу масштаба. Полярными координатами точки M
называются два числа ρ и φ, первое из которых (полярный радиус ρ) равно расстоянию точки M
от полюса O, а второе (полярный угол φ, который называют также амплитудой) — угол, на который нужно повернуть против часовой
стрелки луч Ox до совмещения с лучом OM.

Точку M с полярными координатами ρ и φ обозначают символом
M(ρ, φ).

Связь полярных координат с декартововыми координатами

Установим связь между полярными координатами точки и её декартовыми координатами.
Будем предполагать, что начало декартовой прямоугольной системы координат находится в полюсе, а
положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью. Пусть точка M имеет декартовы
координаты x и y и полярные координаты ρ и φ.Тогда

x = ρ cos φ)

и

y = ρ sin φ).

Полярные координаты ρ и φ точки M определяются по её декартовым координатам
следующим образом:

связь между полярной координатой ρ точки и её декартовыми координатами формула.

Для того, чтобы найти величину угла φ, нужно, используя знаки x и y,
определить квадрант, в котором находится точка M, и, кроме того, воспользоваться тем, что
тангенс угла φ равен .

Приведённые выше формулы называются формулами перехода от декартовых координат к полярным.

Одно из наиболее частых применений полярных координат в высшей математике —
решения двойных интегралов в полярных координатах.

Задачи о точках в полярной системе координат

Пример 1. В полярной системе координат на плоскости даны точки

A(3; π/4);

B(2; —π/2);

C(3; —π/3).

Найти полярные координаты точек, симметричных этим точкам относительно полярной оси.

Решение. При симметрии длина луча не меняется. Следовательно, первая координата —
длина луча — у симметричной относительно полярной оси точки будет как и у данной точки. Как видно
из рисунка в начале урока, при построении симметричной относительно полярной оси точки данную точку
нужно повернуть вокруг полярной оси на тот же угол φ. Следовательно, в полярной системе координат
второй координатой симметричной точки будет угол для исходной точки, взятый с противоположным знаком,
то есть -φ. Итак, полярные координаты точки, симметричной данной относительно полярной оси будут
отличаться лишь второй координатой, и эта координата будет с противоположным знаком. Полярные координаты
искомых симметричных точек будут следующими:

A’(3; —π/4);

B’(2; π/2);

C’(3; π/3).

Пример 2. В полярной системе координат на плоскости даны точки

A(1; π/4);

B(5; π/2);

C(2; —π/3).

Найти полярные координаты точек, симметричных этим точкам относительно полюса.

Решение. При симметрии длина луча не меняется. Следовательно, первая координата —
длина луча — у симметричной относительно полюса точки будет как и у данной точки. Симметричная
относительно полюса точка получается вращением исходной точки на 180 градусов против часовой стрелки,
то есть на угол π. Следовательно, вторая координата точки, симметричной данной относительно
полюса рассчитывается как φ + π (если
в результате получится числитель больше знаменателя, то вычтем из полученного числа один полный оборот,
то есть 2π). Получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно полюса:

A’(1; 3π/4);

B’(5; —π/2);

C’(2; 2π/3).

Пример 3. Полюс полярной системы координат совпадает с началом
декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В полярной
системе координат даны точки

A(6; π/2);

B(5; 0);

C(2; π/4).

Найти декартовы координаты этих точек.

Решение. Используем формулы перехода от полярных координат к декартовым:

x = ρ cos φ)

и

y = ρ sin φ).

Получаем следующие декартовы координаты данных точек:

A(0; 6);

B(5; 0);

C’(√2; √2).

Пример 4. Полюс полярной системы координат совпадает с началом
декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В декартовой
прямоугольной системе координат даны точки

A(0; 5);

B(-3; 0);

C(√3; 1).

Найти полярные координаты этих точек.

Решение. Определяем первую из полярных координат по формуле связь между полярной координатой ρ точки и её декартовыми координатами формула,
а тангенс угла φ — второй из полярных координат как .
Получаем следующие полярные координаты данных точек:

A(5; π/2);

B(3; π);

C(2; π/6).

Поделиться с друзьями

  • Векторы
    • Понятие вектора, операции над векторами
    • Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов
    • Скалярное произведение векторов, угол между двумя векторами
    • Линейная зависимость векторов, базис
    • Векторное произведение векторов, смешанное произведение векторов
  • Плоскость
    • Уравнения плоскости, взаимное расположение плоскостей
  • Прямая на плоскости
    • Уравнение прямой с угловым коэффициентом
    • Общее уравнение прямой на плоскости
    • Уравнение прямой в отрезках
    • Каноническое уравнение прямой на плоскости
    • Параметрические уравнения прямой на плоскости
    • Нормальное уравнение прямой на плоскости, расстояние от точки до прямой
Ссылка на основную публикацию