Площадь треугольника. Формулы

Формул для вычисления площади треугольника в интернете можно найти свыше 10. Немало из них применяется в задачах с известными сторонами и углами треугольника. Однако есть ряд сложных примеров где по условию задания известны только одна сторона и углы треугольника, или радиус описанной или вписанной окружности и еще одна характеристика. В таких случаях простую формулу применить не удастся.

Приведенные ниже формулы позволят решить 95 процентов задач в которых требуется найти площадь треугольника.
Перейдем к рассмотрению распространенных формул площади.
Рассмотрим треугольник изображен на рисунке ниже
треугольник, рисунок

На рисунке и далее в формулах введены классические обозначения всех его характеристик
a,b,c – стороны треугольника,
R– радиус описанной окружности,
r – радиус вписанной окружности,
h[b],h[a],h[c] – высоты , проведенные в соответствии со сторонами a,b,c.
alpha, beta,hamma – углы возле вершин.

Основные формулы площади треугольника

1. Площадь равна половине произведения стороны треугольника на высоту опущенной к этой стороне. На языке формул это определение можно записать так

площадь треугольника, формула

Таким образом, если известна сторона и высота — то площадь найдет каждый школьник.
Кстати, из этой формулы можно вывести одну полезную зависимость между высотами

свойства высоты

2. Если учесть, что высота треугольника через соседнюю сторону выражается зависимостью

высота треугольника
то с первой формулы площади следуют однотипные вторые

площадь треугольника, формула
площадь треугольника, формула
площадь треугольника, формула

Внимательно посмотрите на формулы — их легко запомнить, поскольку в произведении фигурирует две стороны и угол между ними. Если правильно обозначить стороны и углы треугольника (как на рисунке выше) то получим две стороны a,b и угол связан с третьей С (hamma).

3. Для углов треугольника справедливо соотношение

синус угла

Зависимость позволяет применять в вычислениях следующие формулы площади треугольника

площадь треугольника, формула
площадь треугольника, формула
площадь треугольника, формула

Примеры на эту зависимость встречаются крайне редко, но помнить что есть такая формула Вы должны.

4. Если известна сторона и два прилегающих угла то площадь находится по формуле

площадь треугольника, формулаплощадь треугольника, формула

5. Формула площади через сторону и котангенс прилегающих углов следующая

площадь треугольника, котангенс

Перестановкой индексов можете получить зависимости для других сторон.

6. Приведенная ниже формула площади используется в задачах когда вершины треугольника заданы на плоскости координатами координаты треугольника. В этом случае площадь равна половине определителя взятого по модулю.

площадь треугольника на плоскости
площадь треугольника на плоскости
площадь треугольника на плоскости

7. Формула Герона применяют в примерах с известными сторонами треугольника.
Сначала находят полупериметр треугольника

полупериметр
а затем определяют площадь по формуле
формула Герона, площадь
или
формула Герона

Ее довольно часто используют в коде программ калькуляторов.

8. Если известны все высоты треугольника то площадь определяют по формуле

площадь через высоты треугольника

Она сложна для вычисления на калькуляторе, однако в пакетах MathCad, Mathematica, Maple площадь находится на «раз два ».

9. Следующие формулы используют известны радиусы вписанных и описанных окружностей.
треугольник и окружность
В частности, если известно радиус и стороны треугольника, или его периметр то площадь вычисляется согласно формуле

площадь

10. В примерах где задано стороны и радиус или диаметр описанной окружности площадь находят по формуле

площадь

11. Следующая формула определяет площадь треугольника через сторону и углы треугольника.

площадь

Ну и напоследок — частные случаи :
Площадь прямоугольного треугольника с катетами a и b равна половине их произведения

Формула площади равностороннего ( правильного ) треугольника=
равносторонний треугольник
= одной четвертой произведения квадрату стороны на корень из тройки.

Пример. Стороны треугольника равны 3, 5, 6 см. Найти площадь треугольника.

Решение: Применим формулу Герона, для этого сначала найдем полупериметр

Подставляем в формулу площади

Ответ:Площадь треугольника равна 7.48 сантиметров квадратных.

————————————
Скачать все приведенные формулы площади треугольника Вы можете по следующей ссылке. Распечатывайте их и используйте в обучении.

{jd_file file==19}

Если материал был полезен Вам — поделитесь ссылкой с друзьями.

Посмотреть материалы:

  • Прямоугольный треугольник. Задачи
  • Периметр и площадь прямоугольника
  • Квадрат. Формулы
  • Периметр и площадь параллелограмма
  • Формулы площади трапеции
  • Ромб. Площадь, периметр

{jcomments on}

Ссылка на основную публикацию