Площадь равнобедренного треугольника. Вычисление периметра и площади

Вычислить периметр, и площадь равнобедренного треугольника Вам поможет просмотр готовых ответов к заданиям из ВНО подготовки. Таким образом Вы убиваете двух зайцев, готовитесь к ВНО и учитесь решать примеры на равнобедренные треугольники.

Пример 31.29 В равнобедренному треугольнике центр вписанного круга делит высоту, проведенную к основанию, в отношении 12:5, а боковая сторона равна 60. Найти периметр треугольника.
Решение: Пусть имеем равнобедренный треугольник ABC, у которого AC=BC=60 — боковые стороны.
равнобедренный треугольник, рисунок
В ΔABC вписано окружность с центром в точке O, причем CO:HO=12:5 (по условию). Проведем радиус вписанной окружности OK к стороне BC, тогда OK⊥BC (по свойству). Пусть HO=5x — радиус вписанной окружности, тогда OK=HO=5x и CO=12x.
Рассмотрим прямоугольные треугольники ΔAHC (∠H=90) и ΔOKC (∠K=90). У них острые углы при вершине C одинаковые (ведь HC — высота, медиана и биссектриса).
Отсюда следует, что треугольники ΔAHC и ΔOKC подобные, а поэтому их соответствующие стороны пропорциональны:
AC/CO=AH/ОК
отсюда

Поскольку HC — медиана, то AB=2•AH=2•25=50.
Найдем периметр равнобедренного треугольника ΔABC
PΔABC =2•AC+AB=2•60+50=170.
Ответ: 170.

 

Пример 31.30 Периметр равнобедренного треугольника равен 108 см, а основание — 30 см. Найти (в см) площадь треугольника и радиус вписанной окружности.
Решение: Пусть задан равнобедренный треугольник ABC, у которого AC=BC — боковые стороны, AB=30 см — основа и PΔABC=108 см — периметр (по условию).
равнобедренный треугольник, рисунок
Найдем боковую сторону ​​ΔABC :
​PΔABC=2•AC+AB=108, отсюда
AC=BC=(PΔABC-AB):2=(108-30):2=39 (см).
Проведем высоту CM к основанию AB равнобедренного ΔABC (CM⊥AB), тогда по свойству, CM — медиана и биссектриса, то есть AM=BM=AB2=30/2=15 (см).
В прямоугольном ΔAMC (∠M=90) по теореме Пифагора найдем катет CM — высоту ΔABC AM^2+CM^2=AC^2, отсюда

Вычислим площадь равнобедренного треугольника ΔABC по классической формуле:
(см2).
Найдем полупериметр ΔABC:
(см).
Определим радиус вписанной окружности в ΔABC по формуле:
r=S/p=540/54=10(см).
Ответ:540; 10.

 

Пример 31.31 Основание равнобедренного треугольника равно 12, а высота, проведенная к основанию — 8. Найти площадь треугольника и радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Решение Имеем равнобедренный треугольник ABC, у которого AC=BC — боковые стороны, AB=12 — основание и CM=8 — высота, проведенная к основанию AB, CM⊥AB (по условию). Тогда по свойству, CM — медиана и биссектриса, то есть
AM=BM=AB/2=12/2=6 .
равнобедренный треугольник, рисунок
В прямоугольном ΔAMC (∠M=90) по теореме Пифагора найдем гипотенузу AC — боковую сторону ΔABC:
AC^2=AM^2+CM^2, отсюда

Найдем площадь ΔABC по формуле:

Полупериметр треугольника ΔABC:

Вычислим радиус вписанной окружности в треугольнике ABC по формуле:
r=S/p=48/16=3 .
Ответ: S=48, r=3.

 

Пример 31.35 Найти площадь равнобедренного треугольника с точностью до 0,01 см2, если высота, проведенная к боковой стороне, равна 12 см, а другая высота — 9 см.
Решение Пусть имеем равнобедренный треугольник ABC, у которого AC=BC — боковые стороны, AB — основа и CM=9 см — высота, проведенная к основанию AB, CM⊥AB, AK=12 см — высота, проведенная к боковой стороне BC, AK⊥BC (по условию).
равнобедренный треугольник, рисунок
По свойству высоты проведенной к основанию равнобедренного ΔABC имеем:
AB=2BM.
Запишем формулы для вычисления площади ΔABC:

Отсюда BC=0,75*AB=0,75*2*BM=1,5BM, следовательно BC=1,5•BM .
В прямоугольном треугольнике ΔBMC(∠M=90) по теореме Пифагора найдем катет BM:

Тогда AB=2•BM=36√5/5 (см).

Найдем площадь равнобедренного ΔABC с точностью до 0,01:

Ответ: 72,45.

 

Задача 1 Центр окружности, вписанной в треугольник, делит высоту проведенную к основанию на отрезки 13 и 5 см. Найти периметр треугольника.
Решение Поскольку центр круга (точка O), вписанного в треугольник ABC, лежит на высоте BM, то ΔABC — равнобедренный.
равнобедренный треугольник, рисунок
​AB=BC — боковые стороны, AC — основа равнобедренного треугольника ΔABC, BM — высота равнобедренного треугольника ABC, проведенная к основанию AC (BM⊥AC). По свойству AM=CM, отсюда AC=2CM.
По условию задания BM=BO+OM=13+5=18 см. OM=OK=5 см — радиус вписанной окружности. По свойству вписанной в треугольник окружности OK⊥BC.
Рассмотрим прямоугольный треугольник OBK, у которого ∠BOK=90, OK=5 см — катет, OB=13 см — гипотенуза. По теореме Пифагора найдем катет BK:
OB^2=BK^2+OK^2, отсюда

Рассмотрим прямоугольные треугольники OBK (∠BOK=90) и CBM (∠BMC=90).
В них ∠OBK=∠MBC (то есть острый угол при вершине B общий, а потому ровный). Отсюда следует, что прямоугольные ΔOBK и ΔBCM — подобные треугольники.
По свойству подобия треугольников (стороны подобных треугольников пропорциональны) имеем BK/BM=OK/CM, отсюда 12/18=5/CM, CM=5•18/12=7,5 см.
По свойству окружности, вписанной в треугольник, имеем KC=CM=7,5 см.
Вычислим длины сторон равнобедренного ΔABC:
AC=2CM=2•7,5=15 см;
AB=BC=BK+KC=12+7,5=19,5 см.
Вычислим периметр треугольника ΔABC:
PΔABC=AB+BC+AC=19,5+19,5+15=54 см.
Ответ: 54 см.

На сайте опубликовано около 1000 задач на различные геометрические фигуры. Помощь понятны как для школьника в 10-11 классе, так и для студента. Если есть желание, можете дополнить любую статью качественными задачами.
Все в Ваших руках, берите и учитесь!

Ссылка на основную публикацию