Параметрические уравнения прямой на плоскости

Параметрические уравнения прямой элементарно получаются из канонического уравнения
этой прямой, имеющей вид
. Примем за параметр
величину, на которую можно
умножить левую и правую части канонического уравнения.

Так как один из знаменателей обязательно отличен от нуля, а соответствующий числитель
может принимать какие угодно значения, то областью изменения параметра
является вся ось вещественных чисел: .

Мы получим или окончательно

.   (1)

Уравнения (1) и есть искомые параметрические уравнения прямой. Эти уравнения допускают
механическую интерпретацию. Если считать, что параметр
это время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то параметрические уравнения определяют
закон движения материальной точки по прямой линии с постоянной скоростью
(такое движение происходит по инерции).

Пример 1. Составить на плоскости параметрические уравнения прямой,
проходящей через точку и
имеющей направляющий вектор .

Решение. Подставляем данные точки и направляющего вектора в (1) и получаем:

Часто в задачах требуется преобразовать параметрические уравнения прямой в другие виды уравнений, а
из уравнений других видов получить параметрические уравнения прямой. Разберём несколько таких примеров.
Для преобразования параметрических уравнений прямой в общее уравнение прямой сначала следует привести их
к каноническому виду, а затем из канонического уравнения получить общее уравнение прямой

Пример 2. Записать уравнение прямой

в общем виде.

Решение. Сначала приводим параметрические уравнения прямой к каноническому уравнению:

.

Дальнейшими преобразованиями приводим уравнение к общему виду:

Несколько более сложно преобразование общего уравнения в параметрические уравнения прямой,
но и для этого действия можно составить чёткий алгоритм. Сначала можно преобразовать общее уравнение в
уравнение с угловым коэффициентом и найти из него координаты какой-либо точки, принадлежащей прямой, придавая
одной из координат произвольное значение. Когда известны координаты точки и направляющего вектора
(из общего уравнения), можно записать параметрические уравнения прямой.

Пример 3. Записать уравнение прямой

в виде параметрических уравнений.

Решение. Приводим общее уравнение прямой в уравнение с угловым коэффициентом:

Находим координаты некоторой точки, принадлежащей прямой. Придадим одной из координат точки произвольное значение

.

Из уравнения прямой с угловым коэффициентом получаем другую координату точки:

Таким образом, нам известны точка
и направляющий вектор
. Подставляем их данные в (1)
и получаем искомые параметрические уравнения прямой:

Пример 4. Найти угловой коэффициент прямой, заданной параметрическими
уравнениями

Решение. Параметрические уравнения прямой сначала следует преобразовать в каноническое,
затем в общее и, наконец, в уравнение с угловым коэффициентом.

Шаг 1:

Шаг 2:

.

Шаг 3:

.

Таким образом, угловой коэффициент заданной прямой:

.

Пример 5. Составить параметрические уравнения
прямой, проходящей через точку
и перпендикулярной прямой

.

Решение. Cначала найдём из данных параметрических уравнений
координаты вектора нормали искомой прямой. Если направляющий вектор , то
. Из данного уравнения получаем

Составим общее уравнение искомой прямой по формуле :

Преобразуем полученное уравнение в уравнение с угловым коэффициентом:

.

Находим какую-либо точку, принадлежащую этой прямой. Для этого одной из координат этой точки
придадим произвольное значение . Тогда

Искомые параметрические уравнения прямой:

Ссылка на основную публикацию