Параллелограмм. Свойства, площадь и признаки — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Параллелограмм — это четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон.
Свойства параллелограмма:

  1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
  2. Противоположные углы параллелограмма равны.
  3. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.

Параллелограмм

Давайте посмотрим, как свойства параллелограмма применяются в решении задач ЕГЭ.

1. Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.

Рисунок 1

Пусть B mkern -3mu M и C mkern -3mu K — биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к стороне B mkern -1mu C. Сумма углов ABC и B mkern -1mu C mkern -2mu D равна 180^{circ}. Углы O mkern -3mu BC и OC mkern -3mu B — половинки углов ABC и B mkern -1mu C mkern -2mu D. Значит, сумма углов ABC и B mkern -1mu C mkern -2mu D равна 90 градусов. Из треугольника BO mkern -1mu C находим, что угол BO mkern -1mu C — прямой.
Ответ: 90.

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, — перпендикулярны.

Легко доказывается и другое свойство биссектрис параллелограмма:

Биссектрисы противоположных углов параллелограмма — параллельны.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

2. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.

Рисунок 2

Найдем на этом рисунке накрест лежащие углы. Мы уже рассказывали, что это такое.

Углы D mkern -2mu AE и B mkern -2mu E mkern -2mu A, а также C mkern -3mu E mkern -2mu D и A mkern -2mu D mkern -2mu E — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны. Значит, угол D mkern -2mu AE равен углу B mkern -2mu E mkern -2mu A, а угол C mkern -3mu E mkern -2mu D — углу A mkern -2mu D mkern -2mu E.
Получаем, что треугольники A mkern -2mu B mkern -2mu E и C mkern -2mu D mkern -2mu E — равнобедренные, то есть B mkern -2mu E=AB, а EC=C mkern -3mu D. Тогда BC = 5+5=10.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Запишем формулы площади параллелограмма:

S=a cdot h, где a — основание параллелограмма, h — его высота.
S=a cdot b cdot sin varphi, где a и b — стороны параллелограмма, varphi — угол между ними.

И еще одна формула.

S=d1 cdot d2 cdot sin alpha, где d1 и d2 — диагонали параллелограмма, alpha — угол между ними.

Ссылка на основную публикацию