Нормальное уравнение прямой на плоскости

Пусть дана некоторая прямая L. Проведём через начало координат прямую n,
перпендикулярно данной и назовём её нормалью к прямой L. Буквой N отметим точку, в которой
нормаль пересекает прямую L. На нормали введём направление от точки O к точке N.

Обозначим через угол,
на которой нужно повернуть против часовой стрелки ось Ox до совмещения её положительного направления
с направлением нормали, через p длину отрезка ON.

Тогда уравнение

.   (1)

будет нормальным уравнением прямой.

С помощью нормального уравнения прямой можно определить расстояние от данной точки плоскости
до прямой
. Пусть — точка, не лежащая
на прямой, заданной нормальным уравнением. Требуется определить расстояние d от точки до прямой. Это расстояние
определяется по формуле

.   (2)

Общее уравнение прямой можно привести к нормальному виду. Пусть

— общее уравнение прямой, а

— её нормальное уравнение.

Так как оба уравнения определяют одну и ту же прямую, их коэффициенты пропорциональны.

Очевидно, для получения нормального уравнения следует все члены общего уравнения умножить на
постоянный множитель
, вычисляемый
по формуле

.   (3)

В этой формуле берётся знак, противоположный знаку C в общем уравнении прямой.

Таким образом, получаем уравнение

,   (4)

которое и будет нормальным уравнением прямой на плоскости.

Пример 1. Привести общее уравнение прямой
к нормальному виду.

Решение. Вычисляем нормирующий множитель:

(знак, противоположный C).

Умножаем все члены общего уравнения на нормирующий множитель и получаем:

.

Пример 2. Привести общее уравнение прямой
к нормальному виду.

Решение. Вычисляем нормирующий множитель:

(знак, противоположный C).

Умножаем все члены общего уравнения на нормирующий множитель и получаем:

.

Пример 3. Найти расстояние от точки
до прямой .

Решение. Приведём данное уравнение к нормальному виду. Вычисляем нормирующий множитель:

(знак, противоположный C).

Умножаем все члены общего уравнения на нормирующий множитель и получаем нормальное уравнение:

.

По формуле (2) находим искомое расстояние:

.

Ссылка на основную публикацию