Квадрат и его свойства, диагонали квадрата, площадь квадрат, теорема — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Можно дать и другое определение квадрата:
квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Получается, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Перечислим свойства квадрата:

  1. Все углы квадрата — прямые, все стороны квадрата — равны.
  2. Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
  3. Диагонали квадрата делят его углы пополам.

Квадрат и его свойства

Площадь квадрата, очевидно, равна квадрату его стороны: S=a^2.
Диагональ квадрата равна произведению его стороны на sqrt{2}, то есть
d=sqrt{2} cdot a.

Разберем несколько простых задач на тему «Квадрат». Все они взяты из Банка заданий ФИПИ.

1. Найдите сторону квадрата, диагональ которого равна sqrt{8}.

Мы знаем, что d=sqrt{2} cdot a. Тогда a=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle d}{displaystyle sqrt{2}}= 2.

2. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной sqrt{8}.

Рисунок к задаче 2

Очевидно, радиус окружности равен половине диагонали квадрата.

Ответ: 2.

3. Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса 4.

Рисунок к задаче 3

Диаметр окружности равен стороне квадрата.

Ответ: 8.

4. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат ABC mkern -3mu D, считая стороны квадратных клеток равными sqrt{2}.

Рисунок к задаче 4

Чуть более сложная задача. Нарисуйте окружность, вписанную в данный квадрат, то есть касающуюся всех его сторон. Вы увидите, что диаметр этой окружности равен стороне квадрата.

Ответ: 2.

5. Найдите радиус r окружности, вписанной в четырехугольник ABC mkern -3mu D. В ответе укажите
r sqrt{10}.

Рисунок к задаче 5

Считаем стороны клеток равными единице. Четырехугольник ABC mkern -3mu D — квадрат. Все его стороны равны, все углы — прямые. Как и в предыдущей задаче, радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.

Найдем на чертеже прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем сторону, например, AB. Она равна sqrt{10}. Тогда радиус вписанной окружности равен genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{10}}{displaystyle 2} . В ответ запишем r sqrt{10}.

Ответ: 5.

Ссылка на основную публикацию