Касательная к окружности и свойства отрезков касательных — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.

Понятие касательной к окружности и основные свойства касательной проиллюстрированы ниже на рисунке.

Касательная к окружности

1. Угол ACO равен 28^{circ}, где O — центр окружности. Его сторона C mkern -3mu A касается окружности. Найдите величину меньшей дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 1

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, угол C mkern -3mu AO — прямой. Из треугольника ACO получим, что угол AOC равен 62 градуса. Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается, значит, величина дуги AB — тоже 62 градуса.

Ответ: 62.

2. Найдите угол ACO, если его сторона C mkern -3mu A касается окружности, O — центр окружности, а большая дуга A mkern -3mu D окружности, заключенная внутри этого угла, равна 116^{circ}. Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 2

Это чуть более сложная задача. Центральный угол AO mkern -2mu D опирается на дугу A mkern -1mu D, следовательно, он равен 116 градусов. Тогда угол AO mkern -1mu C равен 180^{circ}-116^{circ}=64^{circ}. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, значит, угол O mkern -2mu AC — прямой. Тогда угол AC mkern -2mu O равен 90^{circ}-64^{circ}=26^{circ}.

Ответ: 26.

3. Хорда AB стягивает дугу окружности в 92^{circ}. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 3

Проведем радиус O mkern -3mu B в точку касания, а также радиус O mkern -3mu A. Угол O mkern -3mu B mkern -2mu C равен 90^{circ}. Треугольник BO mkern -3mu A — равнобедренный. Нетрудно найти, что угол O mkern -3mu B mkern -3mu A равен 44 градуса, и тогда угол C mkern -3mu B mkern -3mu A равен 46 градусов, то есть половине угловой величины дуги AB.

Получается, что угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

5. К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника.

Рисунок к задаче 5

Вспомним еще одно важное свойство касательных к окружности:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
Периметр треугольника — это сумма всех его сторон. Обратите внимание на точки на нашем чертеже, являющиеся вершинами шестиугольника. Из каждой такой точки проведены два отрезка касательных к окружности. Отметьте на чертеже такие равные отрезки. Еще лучше, если одинаковые отрезки вы будете отмечать одним цветом. Постарайтесь увидеть, как периметр треугольника ABC складывается из периметров отсеченных треугольников.

Ответ: 24.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Вот более сложная задача из вариантов ЕГЭ:

6. Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна 5. Его периметр равен 10. Найдите радиус этой окружности.

Рисунок к задаче 6

Обратите внимание — в условии даже не сказано, сколько сторон у этого многоугольника. Видимо, это неважно. Пусть их будет пять, как на рисунке.
Окружность касается всех сторон многоугольника. Отметьте центр окружности — точку O — и проведите перпендикулярные сторонам радиусы в точки касания.

Соедините точку O с вершинами A, B, C, D, E. Получились треугольники AOB, BOC, CO mkern -2mu D, DO mkern -2mu E и EO mkern -3mu A.
Очевидно, что площадь многоугольника S=S_{AO mkern -2mu B} + S_{BOC}+S_{C mkern -2mu O mkern -2mu D}+S_{DO mkern -2mu E}+S_{EO mkern -3mu A}.
Как вы думаете, чему равны высоты всех этих треугольников и как, пользуясь этим, найти радиус окружности?

Ответ: 1.

Ссылка на основную публикацию