Гипербола: формулы, примеры решения задач

Определение гиперболы. Гиперболой называется множество
всех точек плоскости, таких, для которых модуль разности расстояний от двух точек,
называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

,

где a и b — длины
полуосей, действительной и мнимой.

На чертеже ниже фокусы обозначены как и
.

На чертеже ветви гиперболы — бордового цвета.

При a = b гипербола называется равносторонней.

Пример 1. Составить каноническое уравнение гиперболы,
если его действительная полуось a = 5 и мнимая  = 3.

Решение. Подставляем значения полуосей в формулу канонического уравения гиперболы
и получаем:

.

Точки пересечения гиперболы с её действительной осью (т. е. с осью Ox)
называются вершинами. Это точки (a, 0) (- a, 0), они обозначены и надписаны на
рисунке чёрным.

Точки и
, где

,

называются фокусами гиперболы (на чертеже обозначены
зелёным, слева и справа от ветвей гиперболы).

Число

называется эксцентриситетом гиперболы.

Гипербола состоит из двух ветвей, лежащих в разных полуплоскостях
относительно оси ординат.

Пример 2. Составить каноническое уравнение гиперболы,
если расстояние между фокусами равно 10 и действительная ось равна 8.

Решение.

Если действительная полуось равна 8, то её половина, т. е. полуось
a = 4,

Если расстояние между фокусами равно 10, то число c из
координат фокусов равно 5.

То есть, для того, чтобы составить уравнение гиперболы, потребуется
вычислить квадрат мнимой полуоси b.

Подставляем и вычисляем:

Получаем требуемое в условии задачи каноническое уравнение гиперболы:

.

Пример 3. Составить каноническое уравнение гиперболы,
если её действительная ось равна 48 и эксцентриситет .

Решение. Как следует из условия, действительная полуось
a = 24. А эксцентриситет — это пропорция и
так как a = 24, то коэффициент пропорциональности
отношения с и a
равен 2. Следовательно, c = 26.
Из формулы числа c выражаем квадрат мнимой полуоси и
вычисляем:

.

Результат — каноническое уравнение гиперболы:

Если —
произвольная точка левой ветви гиперболы () и
—
расстояния до этой точки от фокусов , то
формулы для расстояний — следующие:

.

Если —
произвольная точка правой ветви гиперболы () и
—
расстояния до этой точки от фокусов , то
формулы для расстояний — следующие:

.

На чертеже расстояния обозначены оранжевыми линиями.

Для каждой точки, находящейся на гиперболе, сумма расстояний от фокусов
есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

,

называются директрисами гиперболы (на чертеже — прямые ярко-красного
цвета).

Из трёх вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки гиперболы

,

где —
расстояние от левого фокуса до точки любой ветви гиперболы, —
расстояние от правого фокуса до точки любой ветви гиперболы и и —
расстояния этой точки до директрис и
.

Пример 4. Дана гипербола
.
Составить уравнение её директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется
найти эксцентриситет гиперболы, т. е. .
Вычисляем:

.

Получаем уравнение директрис гиперболы:

Характерной особенностью гиперболы является наличие асимптот — прямых, к
которым приближаются точки гиперболы при удалении от центра.

Асимптоты гиперболы определяются уравнениями

.

На чертеже асимптоты — прямые серого цвета, проходящие через начало координат O.

Уравнение гиперболы, отнесённой к асимптотам, имеет вид:

, где .

В том случае, когда угол между асимптотами — прямой, гипербола называется
равнобочной, и если асимптоты равнобочной гиперболы выбрать за оси координат, то её
уравнение запишется в виде y = k/x,
то есть в виде уравения обратной пропорциональной зависимости.

Пример 5. Даны уравнения асимптот гиперболы
и координаты
точки , лежащей
на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.

Решение. Дробь в уравнении асимптот гиперболы — это пропорция, следовательно,
нужно сначала найти коэффициент пропорциональности отношения .
Для этого подставляем в формулу канонического уравнения гиперболы координаты точки M
x и y и значения числителя и знаменателя из уравнения асимптоты, кроме того,
умножаем каждую дробь в левой части на коэффициент пропорциональности k.

.

Теперь имеем все данные, чтобы получить каноническое уравнение
гиперболы. Получаем:

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично
относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) b = 4,
а один из фокусов в точке (5; 0)

посмотреть правильное решение и ответ,

2) действительная ось 6, расстояние между фокусами 8

посмотреть правильное решение и ответ,

3) один из фокусов в точке (-10; 0),
уравнения асимптот гиперболы

посмотреть правильное решение и ответ.

Поделиться с друзьями