Геометрический парадокс: прямой угол равен тупому — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Я очень люблю эту задачу. Мне нравится наблюдать за реакцией учеников и за процессом поиска решения. Самое приятное — что доказательство полностью соответствует чертежу, основано на известных теоремах, и логических ошибок нет ни в одном его пункте 🙂

Итак, прямой угол равен тупому, и сейчас мы это докажем.

Прямой угол равен тупому?!

Построение.

Проведем отрезок AB. Построим углы C mkern -2mu AB – прямой и AB mkern -2mu D – тупой.

Построим отрезки AC=B mkern -2mu D.

Соединим точки C и D.

Пусть M — середина AB, K — середина CD.
Проведем серединный перпендикуляр M mkern -2mu N к отрезку AB и серединный перпендикуляр K mkern -2mu N к отрезку CD.
M mkern -2mu N и K mkern -2mu N пересекаются в точке N.

Доказательство.

  1. Рассмотрим треугольник ABN. Он равнобедренный — поскольку M — середина AB,
    M mkern -2mu N перпендикулярен AB (по построению), а если в треугольнике высота одновременно является медианой,
    значит, он равнобедренный. Следовательно, AN=BN, угол M mkern -2mu AN равен углу M mkern -2mu BN.
  2. Аналогично, треугольник CDN — равнобедренный, следовательно,
    CN=DN.
  3. Рассмотрим треугольники C mkern -2mu AN и D mkern -2mu B mkern -2mu N.
    Поскольку AN=BN, CN=DN (по доказанному), а AC=B mkern -2mu D (по построению), значит, треугольник C mkern -2mu AN равен треугольнику D mkern -2mu B mkern -2mu N (по трём сторонам).
    Следовательно, угол C mkern -2mu AN равен углу D mkern -2mu B mkern -2mu N.
  4. Мы доказали, что
    угол C mkern -2mu AN равен углу D mkern -2mu B mkern -2mu N,
    угол M mkern -2mu AN равен углу M mkern -2mu BN.
  5. Поскольку угол C mkern -2mu AN равен сумме углов M mkern -2mu AN и CAM,
    а угол D mkern -2mu B mkern -2mu N равен сумме углов M mkern -2mu BN и DB mkern -2mu A, мы получаем, что
    угол C mkern -2mu AM равен углу DB mkern -2mu A.

Получили, что прямой угол равен тупому. Что и требовалось доказать 🙂

Чтобы разгадать этот парадокс, сделайте аккуратный чертеж. Тогда вы кое-что заметите.
Если вы учитель или репетитор – дайте эту задачу своим ученикам. Ведь они привыкли, что чертёж должен быть верным, а преподаватель — авторитет и поэтому всегда говорит правду 🙂

Еще один геометрический парадокс: Катет равен гипотенузе.

видеокурс для успешной сдачи ЕГЭ

«Полный видеокурс для успешной сдачи ЕГЭ по математике»

Этот курс заменяет полгода занятий с репетитором. Он включает в себя всю часть «B» и задачу «C1». Просто, понятно и доступно. Автор — репетитор-профессионал Анна Георгиевна Малкова.
Данного видеокурса достаточно для того, чтобы сдать ЕГЭ на «5».

Внимание! Тотальная распродажа! Именно сейчас вы можете получить все 5 дисков видеокурса по минимальной цене 5000 2500 рублей. Количество комплектов ограничено. Не опоздайте!
Заказать


Ссылка на основную публикацию