Высоты медианы биссектрисы треугольника — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Высоты, медианы и биссектрисы треугольника постоянно встречаются нам в задачах по геометрии. Мы начнем с таблицы, в которой показано, что такое высоты, медианы и биссектрисы, и какими свойствами они обладают. Затем — подробные объяснения и решение задач.

Высоты, медианы, биссектрисы треугольника

Напомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

Высота в треугольнике

Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Вот как это выглядит в случае остроугольного треугольника.

Высоты в остроугольном треугольнике

Попробуйте провести три высоты в тупоугольном треугольнике. Получилось? Да, редкий выпускник справляется с этим заданием. Действительно, мы не можем опустить перпендикуляр из точки A на отрезок BC, зато можем опустить его на прямую BC — то есть на продолжение стороны BC.

Высота в тупоугольном треугольнике

В этом случае в одной точке пересекаются не сами высоты, а их продолжения.

Высоты в тупоугольном треугольнике

А как выглядят три высоты в прямоугольном треугольнике? В какой точке они пересекаются?

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины.

Свойство медианы

Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.

У биссектрисы угла есть замечательное свойство — точки, принадлежащие ей, равноудалены от сторон угла. Поэтому три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон треугольника. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник.

Еще одно свойство биссектрисы пригодится тем, кто собирается решать задачу C4. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон.

Свойство биссектрисы

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Разберем несколько задач, в которых речь идет о высотах, медианах и биссектрисах треугольника. Все задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

1. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 1

Пусть биссектрисы треугольника ABC (в котором угол C равен 90^{circ}) пересекаются в точке M.

Рассмотрим треугольник ABM.

angle M mkern -4mu AB=0,5 angle B mkern -2mu AC,

angle AB mkern -2mu M=0,5 angle ABC, тогда angle AM mkern -3mu B=180^{circ} - angle M mkern -3mu AB - angle AB mkern -3mu M = 180^{circ} - 0,5 left( angle ABC + angle B mkern -3mu AC right)

Острый угол между биссектрисами на рисунке обозначен varphi.

Угол varphi смежный с углом AM mkern -3mu B, следовательно, varphi = 0,5 left( angle ABC + angle B mkern -3mu AC right).

Поскольку треугольник ABC — прямоугольный, то angle ABC + angle B mkern -3mu AC = 90^{circ}.

Тогда varphi = 0,5 left( angle ABC + angle B mkern -3mu AC right) = 90^{circ}:2=45^{circ}.

Ответ: 45.

2. Острые углы прямоугольного треугольника равны 29^{circ} и 61^{circ}. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 2

Пусть C mkern -2mu H — высота, проведенная из вершины прямого угла C, CK — биссектриса угла C.

Тогда angle AC mkern -3mu H = angle ABC = 61^{circ}

angle AC mkern -3mu K = 90^{circ}:2=45^{circ}.

Угол между высотой и биссектрисой — это угол angle K mkern -2mu C mkern -2mu H.

angle K mkern -2mu C mkern -2mu H = angle A mkern -1mu C mkern -2mu H - angle AC mkern -3mu K = 61^{circ}-45^{circ}=16^{circ}

Ответ: 16.

3. Два угла треугольника равны 58^{circ} и 72^{circ}. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 3

Из треугольника A mkern -2mu C mkern -2mu H (угол H — прямой) найдем угол C mkern -2mu AH. Он равен 18^{circ}.

Из треугольника AC mkern -2mu K (K — прямой) найдем угол AC mkern -2mu K. Он равен 32^{circ}.

В треугольнике AO mkern -2mu C известны два угла. Найдем третий, то есть угол AO mkern -2mu C, который и является тупым углом между высотами треугольника ABC:

AO mkern -2mu C = 180^{circ} - 18^{circ} - 32^{circ} = 130^{circ}.

Ответ: 130.

4. В треугольнике ABC угол C равен 58^{circ}, A mkern -2mu D и B mkern -2mu E — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AO mkern -2mu B. Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 4

Пусть в треугольнике ABC угол B mkern -3mu AC равен A, угол ABC равен B.

Рассмотрим треугольник AO mkern -2mu B.

angle O mkern -2mu AB = angle A

angle ABO = angle B, тогда angle AO mkern -2mu B = 180^{circ} - left( angle A + angle B right).

Из треугольника ABC получим, что angle A + angle B = 180^{circ} - 58^{circ} = 122^{circ}.

Тогда angle AO mkern -2mu B = 180^{circ} - left( angle A + angle B right) = 180^{circ}-61^{circ}= 119^{circ}.

Ответ: 119^{circ}.

5. В треугольнике ABC угол A равен 60^{circ}, угол B равен 82^{circ}. A mkern -2mu D, B mkern -2mu D и C mkern -2mu F — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AO mkern -3mu F. Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 5

Найдем угол AC mkern -3mu B. Он равен 38^{circ}.

Тогда angle AC mkern -3mu F = angle AC mkern -3mu B = 19^{circ}.

Из треугольника AC mkern -3mu F найдем угол angle AF mkern -2mu C = angle AC mkern -3mu B = 19^{circ}. Он равен 101^{circ}.

Рассмотрим треугольник AO mkern -3mu F.

angle AF mkern -2mu O = 101^{circ}, angle F mkern -3mu AO = angle B mkern -3mu AC = 30^{circ}. Значит angle AO mkern -3mu F = 49^{circ}

Ответ: 49.

6. В треугольнике ABC, C mkern -2mu D — медиана, угол AC mkern -3mu B равен 90^{circ}, угол B равен 58^{circ}. Найдите угол AC mkern -3mu D. Ответ дайте в градусах.

Как решать эту задачу? У медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, есть особое свойство. Мы докажем его в теме «Прямоугольник и его свойства».

Подсказка: Сделайте чертеж, найдите на нем равнобедренные треугольники и докажите, что они равнобедренные.

Правильный ответ: 22.

Ссылка на основную публикацию