Замена переменных под интегралом

Готовые интегралы функций из контрольной работы для студентов 1, 2 курсов математических факультетов помогут изучить не только схемы интегрирования, но и познакомят с разнообразными приемами, облегчат нахождение интегралов. Некоторые задания сложные и их могут встретить в обучении студенты — математики, экономисты, статисты, химики и физики. Примеры задач задавали на контрольной работе в ЛНУ им. И. Франка. Чтобы формулы в задачах и ответах не повторялись дважды условия заданий выписывать не будем. Вам и так известно что в задачах нужно или «Найти интеграл», или «Вычислить интеграл».
Пример 1. Превращаем корень знаменателя на показатель, далее выполняем деление и после этого интегрируем по формулам интегрирования степенных функций
интегрирования иррациональных функций
После интегрирования ответ переписываем через корни

Пример 2. Разбиваем подынтегральную функцию на две, первую из которых находим по правилу интегрирования показательных функций
интеграл
Пример 3. Превращаем подынтегральную функцию так, чтобы под корнем при переменной коэффициент был равен единице. По формулам интегрирования получим арксинус
интеграл равен арксинусу

Замена переменных под интегралом

Пример 4. Числитель дроби превращаем таким образом, чтобы он стал равным дифференциалу от знаменателя. Это позволит применить замену переменных и упростит интегрирование. В результате получим логарифм от функции, которая находится в знаменателе выходного интеграла
интегрирование рациональных дробей
Пример 5. В такого рода заданиях на интегралы следует знать чему равны производные от тригонометрических функций. В данном случае, если за новую переменную выбрать котангенс и продифференцировать его то при подстановке получим интеграл от линейной функции. Его найти может ученик 11 класса, однако не каждый ученик сможет увидеть приведенную замену.
интегрирование рациональной тригонометрической функций
После интегрирования везде вместо переменной подставляем котангенс.
Пример 6. Имеем дробную функцию, которая равна синусу разделенному на экспоненту в степени косинус. Чтобы перейти ко второй основе интегрирования за переменную выберем показатель экспоненты, продифференцируем переменную и подставим в интеграл. При таких действиях получим интеграл от экспоненты с отрицательным показателем. Его вычисляем согласно табличной формуле интегрирования
замена переменных под интегралом
Пример 7. Единицу минус логарифм обозначим за новую переменную, производная нам даст нужную часть интеграла. После подстановки придем к интегрированию степенной функции с отрицательным показателем.
замена переменных под интегралом
Наконец не забывайте во всех примерах где выполняли замену подставлять начальную функцию (1-ln(x)).

Интегрирование по частям

Пример 8. Несколько следующих заданий нужно решать по правилу интегрирования частями u*dv. За dv выбирают функцию, которая за 1 два хода приведет к рекуррентной формуле или после ряда повторного применения правила интегрирования частями получим окончательный ответ. Здесь косинус тройного аргумента нужно внести под дифференциал
интегрирование по частям
Повторно применяем интегрирование по частям
повторное интегрирование по частям
Как видите ничего сложного в интегрировании нет, главное следить за знаками синуса, косинуса.
Пример 9. Всегда где видите произведение экспоненты на любую функцию знайте, что придется интегрировать частями. Причем за dv выбираем экспоненту на dx.
интегрирования по частям, экспонента
После повторного интегрирования по частям получим
интегрирования по частям, экспонента
Следует отметить, что дальше интегрировать мы не будем. В таком виде получили рекуррентную формулу (справа и слева от знака равенства имеем нужный интеграл).
рекуррентная формула в интегралах
Переносим неизвестные по один знак равенства и вычисляем интеграл.
интеграл
В подобных задачах при интеграле могут быть не только константы, но и функции.
Пример 10. Проинтегрируем частями — за функцию выбираем арктангенс, за дифференциал — dv=x*dx. После дифференцирования арктангенса и интегрирования частями второй интеграл упростится до двух табличных формул.
интегрирование по частям
вычисление интеграла
Пример 11. Проинтегрируем методом замены переменных. Переменную выбираем таким образом, чтобы в показателе экспоненты избавиться иррациональности. Далее приходим к интегрированию частями и загнав экспоненту под дифференциал применяем формулы u*dv
. замена переменных под интегралом
Пример 12. В таких задачах квадратный трехчлен в знаменателе следует записать в виде разницы или суммы квадратов. Далее придем к интегралу который в итоге даст арктангенс
интегрирование квадратного трехчлена
Пример 13. Выделяем квадраты под корнем и сводим интеграл к арксинусу.
интегрирование иррациональных функций
вычисление интеграла
При группировке внимательно следите за суммой дробей, в такой простой операции львиная доля ошибок при интегрировании, по крайней мере для те, кто пришел хоть до какого-то ответа. Также запомните схему вычисления этого и предыдущего примеров — они являются наиболее распространенными на контрольных и тестах.

Готовые решения контрольной по интегрированию

Ссылка на основную публикацию