Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба

  • Признаки выпуклости и вогнутости графика функции
  • Признаки существования точки перегиба
  • Исследуем характер выпуклости графика вместе
  • Исследовать характер выпуклости графика самостоятельно, а затем посмотреть решение
  • Продолжаем исследовать характер выпуклости и вогнутости графика функции вместе

Признаки выпуклости и вогнутости графика функции

Исследование функции на выпуклость и вогнутость может быть как
самостоятельной задачей, так и одним из этапов полного исследования функции и построения
её графика
. Выпуклость и вогнутость функции имеет место только на определённом интервале,
с чем и связаны нижеприведённые определения.

График дифференцируемой функции называется выпуклым в интервале ]a, b[,
если в этом интервале он расположен ниже любой своей касательной (рис. 1).

График дифференцируемой функции называется вогнутым в этом
интервале он расположен выше любой своей
касательной  (рис. 2).


Теорема (достаточный признак вогнутости или выпуклости графика). Если для функции f(x)
во всех точках интервала ]a, b[ вторая производная больше нуля

(),

то кривая y = f(x) вогнута в этом интервале; если же
вторая производная меньше нуля

()

во всех точках интервала ]a, b[, то кривая выпукла в этом интервале.


Признаки существования точки перегиба

Точка графика непрерывной функции, в которой изменяется выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба.

Из определения следует, что с одной стороны от точки перегиба кривая расположена под касательной, с другой стороны – над ней, или наоборот. Поэтому точку перегиба на графике принято показывать отрезком касательной, которая в этой точке пересекает кривую (рис. 3).


Теорема (достаточный признак существования точки перегиба). Если в точке
функция f(x) имеет первую производную
,
а вторая производная
в этой точке равна нулю или не существует, и кроме того, при переходе через точку меняет знак, то точка

является точкой перегиба графика функции y = f(x).

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Исследуем характер выпуклости и вогнутости графика функции вместе

Как должно быть понятно из определений выше, чтобы исследовать характер выпуклости кривой y = f(x),
нужно найти те точки, в которых вторая производная равна нулю () или
не существует,
а затем, используя достаточный признак, исследовать знаки второй производной слева и справа
от каждой возможной точки перегиба (подобно тому, как определялись точки
экстремума по первой
производной).

Пример 1. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости
графика функции .

Решение. Функция определена при
(как найти область определения функции).
Её производные и
. Найдём
возможные точки перегиба. Полагая ,
получим ,
то есть ,
полагая ,
получим .

Однако точки и
не входят
в область определения заданной функции, поэтому она может иметь только одну точку перегиба
при .
Исследуем знаки второй производной в окрестности точки .
Взяв в интервале точку ,
получим , а
взяв в интервале
точку , получим
.
Следовательно, слева от
кривая выпукла, а справа — вогнута, поэтому при
график функции имеет точку перегиба .

График этой функции — на рис. снизу.

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Пример 2. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости
и вогнутости и построить график
функции .

Решение. Функция определена при .
Её производные и
.
Здесь ,
а при
, причём
при
и
при
.
Следовательно, слева от кривая вогнута, а справа — выпукла, т.е.
точка перегиба графика.

График этой функции — на рис. снизу.

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Пример 3. Исследовать на выпуклость, вогнутость и
точки перегиба функцию .

Решение. Находим вторую производную: .
Из уравнения
получаем одну критическую точку: .
Исследовав знак в
окрестности точки
получаем: слева от точки (выпуклость),
а справа — (вогнутость),
т. е. точка
является точкой перегиба рассматриваемой функции.

График этой функции — на рис. снизу.

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Исследовать характер выпуклости и вогнутости графика самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости
графика функции .

Посмотреть правильное решение и ответ.

Пример 5. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости
графика функции .

Посмотреть правильное решение и ответ.

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Продолжаем исследовать характер выпуклости и вогнутости графика функции вместе

Пример 6. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости
графика функции .

Решение. Найдём точки перегиба, решив уравнение :

Таких значений x, при которых вторая производная
функции не существовала бы, нет, поэтому найденные
все возможные точки перегиба. Чтобы убедиться в том, что они действительно являются точками перегиба,
следует проверить поведение графика функции в этих точках. Для этого найдём значения второй
производной слева и справа от точек :

, поэтому
график функции в интервале вогнутый,

, поэтому
график функции в интервале выпуклый,

, поэтому
график функции в интервале вогнутый.

Вывод: точки
действительно являются точками перегиба графика данной функции, так как при переходе через них меняется
поведение графика. Найдём значения функции в точках перегиба:

Обобщим полученные данные в таблице:

x (−∞;2) 2 (2;4) 4 (4;+∞)
y» + 0 0 +
y вогнутый 2 выпуклый 146 вогнутый

График этой функции — на рис. снизу.

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Пример 7. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости
графика функции .

Решение. Найдём точки перегиба, решив уравнение :

Видим, что не существует таких значений x, при
которых вторая производная была бы равна нулю, так как .
Таким образом, точки перегиба могут быть только при таких значениях x,
в которых вторая производная функции не определена. Определим точки, в которых вторая производная функции
не определена:

Определим знаки второй производной функции в интервалах между возможными точками перегиба.

Интервал :

, поэтому
график функции в интервале вогнутый.

Интервал :

, поэтому
график функции в интервале выпуклый.

Интервал :

, поэтому
график функции в интервале вогнутый.

Интервал :

, поэтому
график функции в интервале вогнутый.

Найдём значения функции в конечных точках интервалов:

Обобщим полученные данные в таблице:

x (−∞;−√3) −√3 (−√3;0)
y» +
y вогнутый 0 выпуклый
0 (0;√3) √3 (√3;+∞)
+
0 вогнутый 0 выпуклый

График этой функции — на рис. снизу.

Пример 8. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости
графика функции .

Решение. Область определения данной функции ,
так как логарифм существует только от положительных чисел. Найдём вторую производную функции:

Приравнивая вторую производную нулю, определим критические точки:

Так как точка x = 0 не принадлежит
области определения функции, то

Таким образом, точка x = 1
единственная критическая точка. Знаки второй производной в интервалах, разграниченных этой точкой:

в интервале
минус,

в интервале
плюс.

Значение функции в точке перегиба:

.

Следовательно, в интервале
график данной функции выпуклый, а в интервале
вогнутый. Точка перегиба — (1; −7).

График этой функции — на рис. снизу.

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Пример 9. Найти интервалы выпуклости и вогнутости
графика функции .

Решение. Найдём вторую производную функции:

Приравнивая вторую производную нулю, определим точки, в которых вторая производная
равна нулю или не существует. Так как 10≠0, то для любого значения
x .
Вторая производная не существует, если
или x = 2. Определим знаки второй производной в интервалах,
разграниченных этой точкой:

в интервале
минус,

в интервале
плюс.

Следовательно, в интервале
график данной функции выпуклый, а в интервале
вогнутый.

  • Что такое производная
  • Найти производную: алгоритмы и примеры решений
  • Производные произведения и частного функций
  • Производная суммы дробей со степенями и корнями
  • Производные простых тригонометрических функций
  • Производная сложной функции
  • Производная логарифмической функции
  • Дифференциал функции
  • Дифференциал сложной функции, инвариантность формы дифференциала
  • Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
  • Правило Лопиталя
  • Частные производные
  • Применение производной к исследованию функций
    • Экстремумы функции
    • Наименьшее и наибольшее значения функции
    • Асимптоты
    • Возрастание, убывание и монотонность функции
    • Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба
    • Полное исследование функций и построение графиков
    • Функции двух и трёх переменных
    • Экстремумы функции двух переменных
    • Условные экстремумы и функция Лагранжа
Ссылка на основную публикацию