Выпуклость и вогнутисть графика функции. Точки перегиба

Исследование функции не обходится без установки интервалов выпуклости и вогнутости, причем их могут разделять как точки перегиба, так и критические точки второго рода. Все зависит от ряда правил которые Вам придется запомнить из приведенного теоретического материала.
Кривая называется выпуклой на интервале если все ее точки, кроме точки соприкосновения, лежат ниже произвольной ее касательной на этом интервале.

И наоборот, кривая называется вогнутой на интервале если все ее точки, кроме точки соприкосновения, лежат выше произвольной ее касательной на этом интервале.

Точкой перегиба называется такая точка кривой которая отделяет ее выпуклую часть от вогнутой.

На рисунке выше кривая выпуклая на интервале и вогнута на , в точке — функция имеет перегиб.

Выпуклость и вогнутость кривой, которая является графиком функции характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором интервале она меньше нуля то кривая выпуклая на этом интервале, а если больше то кривая вогнута на этом интервале.

Интервалы выпуклости и вогнутости могут отделяться друг от друга или точками где вторая производная равна нулю, или точками где вторая производная не существует. Эти точки называются критическими точками второго рода.

Если при переходе через критическую точку вторая производная меняет знак, то график функции имеет точку перегиба .

ПРАВИЛО НАХОЖДЕНИЯ ТОЧЕК ПЕРЕГИБА ГРАФИКА ФУНКЦИИ

1) найти область определения функции;

2) найти критические точки II рода функции ;

3) исследовать знак в интервалах, на которые критические точки делят область определения функции . Если критическая точка разделяет интервалы где вторые производные разных знаков, то является абсциссой точки перегиба графика функции;

4) вычислить значения функции в точках перегиба.

—————————————————

Задача.

Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вмятины графиков функций. (Дубовик В.П., Юрик И.И. «Высшая математика. Сборник задач»)

І. (5.827)

1) Область определения вся действительная множество

2) Находим критические точки функции второго рода

Квадратное уравнение будет иметь следующие корни

Они разбивают область определения на следующие интервалы выпуклости или вогнутости

3) Исследуем знак производной подстановкой значений из интервалов

Из анализа знаков следует, что функция вогнута на интервалах и выпуклая при . Точки являются точками перегиба, поскольку вторая производная в них меняет знак.

4) Вычисляем значение функции

– точки перегиба.

Чтобы материал Вам хорошо воспринимался к этой задаче и последующих будут приведены графики функций с найденными критическими точками. Это поможет Вам легко представлять себе, как точки перегиба выглядят на графиках функций

———————————

ІІ. (5.831)

1) Область определения будет

.

2) Критические точки II рода: найдем вторую производную функции

Решим квадратное уравнение

Вторая производная существует на всей области определения.

3) Определяем знаки второй производной на промежутках где вторая производная отлична от нуля

Таким образом, получим два интервала выпуклости и один вогнутости графика функции

4) Найдем значения функции в точках перегиба

-точки перегиба.

Часть графика функции с точками перегиба приведена ниже

———————————

ІІІ. (5.834)

1) Область определения является , так как корень кубический существует для отрицательных чисел.

2) Критические точки найдем из условия равенства нулю или несуществования второй производной функции

Вторая производная существует на всей области кроме точки .

3) Предыдущие исследования показали, что точка разбивает область определения на два интервала и . Для установления, какой из них будет интервалом выпуклости а какой вогнутости, подставим точки справа и слева от критической во вторую производную.

Из этого следует, что на интервале кривая вогнута, а на – выпуклая. Исследуемая точка является точкой перегиба.

4) В точке перегиба функция принимает значение

– координаты точки перегиба. Интересующий график функции приведен ниже

———————————

IV. (5.835)

1) Область определения , поскольку экспонента определена для всех аргументов.

2) Вычисляем критические точки второго рода

Из условия равенства нулю второй производной получим

Найдена точка разбивает область определения на два интервала

3) Исследуем знаки производной на найденных интервалах

На первом интервале график функции выпуклый, а на вогнутый. Точка является абсциссой точки перегиба.

4) Находим ординату

– точка перегиба. График функции имеет вид

———————————

V. (5.845)

1) Областью определения является множество значений аргумента при которых знаменатель не превращается в ноль

Получаем два интервала определения функции

2) Для отыскания критических точек дифференцируем функцию дважды

Вторая производная равна нулю при и не существует в точке .

3) Исследуя знаки производной на интервалах методом подстановки значений

получиим, что функция имеет один интервал где график функции выпуклый и два где он вогнутый.

4) В точке перегиба функция примет значение

а ее графики изображен ниже

—————————————————

Правила нахождения точек перегиба достаточно просты, нужно только хорошо уметь находить вторую производную. При нахождении интервалов довольно трудно привыкнуть, что функция выпуклая там где вторая производная отрицательная, и вогнута — при положительной второй производной. Для этого нужно решить немало задач и построить не менее графиков. Учитесь на приведенных примерах, решайте самостоятельно — это ускорит усвоение теоретического материала и позволит бить спокойнее остальных при решение контрольных, тестов, зачетов.

————————

Посмотреть материалы:

Ссылка на основную публикацию