Вычисление поверхностных интегралов: теория и примеры

  • Понятие поверхностного интеграла первого рода
  • Вычисление поверхностого интеграла первого рода
  • Понятие поверхностного интеграла второго рода
  • Вычисление поверхностного интеграла второго рода
  • Больше примеров на вычисление поверхностных интегралов

Понятие поверхностного интеграла первого рода

Поверхностный интеграл — обобщение понятия криволинейного
интеграла
на случаи, когда интегрирование происходит не по отрезку кривой, а по ограниченной поверхности. Как и
криволинейные интегралы, поверхностные интегралы бывают первого рода и второго рода.

Поверхностный интеграл первого рода записывается в виде

,

где f(M) = f(x,y,z)
функция трёх переменных, а поверхность σ
область интегрирования этой функции. Если f(x,y,z)
равна единице, то поверхностный интеграл равен площади поверхности.

Представьте себе довольно большой подсолнух с очень-очень маленькими семечками. Тогда
по сумме поверхностей очень-очень маленьких семечек, расположенных на поверхности подсолнуха, можно
вычислить поверхность подсолнуха — таким может быть упрощённое толкование поверхностного интеграла.
Почему так?

Давайте перейдём к более формальному определению поверхностного интеграла. Поверхность
σ разбита на n частей с
площадями Δσ1, Δσ2,
…, Δσn. Если выбрать на каждой частичной
поверхности (семечке) произвольную точку Mi
с координатами (ζiηiςi,),
то можно составить сумму

.

Эта сумма называется интегральной суммой для функции f(M)
по поверхности σ. Теперь будем максимально увеличивать число таких
маленьких частей, а наибольший диаметр Δσi
наоборот, уменьшать. Если интегральная сумма при стремлении наибольшего из диаметров частей к нулю
(то есть, как мы уже отмечали, все части очень маленькие) имеет предел, то этот предел и называется
поверхностным интегралом первого рода от функции f(M)
по поверхности σ.

Вычисление поверхностного интеграла первого рода

Вычисление поверхностного интеграла первого рода производится сводением к
двойному интегралу.

Пусть поверхность σ задана уравнением
z = z(xy), её
проекцией на плоскость xOy является область Dxy,
при этом функция z = z(xy)
и её частные производные и
непрерывны в области
Dxy.

Тогда

Это и есть формула, выражающая поверхностный интеграл первого рода через двойной
интеграл по проекции поверхности σ на плоскость xOy.

Пример 1. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

где σ — часть плоскости
в первом октанте.

Решение. Чертёж:

Из уравнения плоскости получаем выражение «зет»: .

Тогда частные производные: ,
и

.

Поверхность σ является изображённым на чертеже
треугольником ABC, а его проекцией на плоскость xOy
треугольником AOB, который ограничен прямыми
x = 0, y = 0 и
3x + y = 6. От поверхностного интеграла
перейдём к двойному интегралу и решим его:

.

Понятие поверхностного интеграла второго рода

Прежде чем перейти к определению поверхностного интеграла второго рода, требуется
познакомиться с понятиями стороны поверхностей и ориентированных поверхностей.

Пусть в пространстве дана гладкая поверхность σ. На этой поверхности выберем
произвольную точку M и проведём через неё вектор нормали
к поверхности. Через точку M проведём также на поверхности σ произвольный контур,
не имеющий общих точек с границей поверхности σ. Точку M вместе с вектором нормали
будем перемещать по контуру так, чтобы вектор нормали постоянно был перпендикулярен поверхности
σ. По возвращении точки M в начальное положение возможны два случая: направление
вектора нормали сохранится или же поменяется на противоположное.

Если направление вектора нормали не поменяется, то поверхность σ
называется двусторонней. Если же при обходе контура направление вектора нормали поменяется на
противоположное, то поверхность называется односторонней. Двусторонние поверхности называются ориентированными
поверхностями, односторонние — неориентированными поверхностями.

Пример односторонней поверхности — лист Мёбиуса (на рисунке выше), который можно сделать из полоски
бумаги, одна сторона которой повёрнута на 180 градусов, и затем концы склеены. И вот что здесь важно:
для односторонней поверхности понятие поверхностного интеграла второго рода не вводится.

Так что будем рассматривать только двусторонние поверхности. Примеры двусторонних
поверхностей — плоскости, сфера, эллипсоил, параболоид.

Положительную сторону двустороней поверхности определяет направление вектора нормали.
Противоположная сторона поверхности называется отрицательной. Положительной стороной поверхности
называется её верхняя сторона. Если единичные векторы нормали составляют острые углы с осью Oz,
то выбрана верхняя сторона поверхности z = z(xy),
если углы тупые, то нижняя сторона поверхности.

Как и в случае поверхностного интеграла первого рода, поверхность можно разбить на
n частей. При формулировке понятия поверхностного интеграла первого рода в интегральной сумме
присутствовали площади каждой из частей, на которые умножаются значения функции
f(Mi). В случае поверхностного интеграла второго рода берутся
площади не самих частей, а площади их проекций на координатные плоскости
. А функцию трёх переменных
для отличия от интеграла первого рода обозначим R(x,y,z). Тогда
интегральная сумма запишется так:

,

где Δsi — площади
упомянутых проекций частей стороны поверхности на координатную ось (пока будем считать, что на ось
xOy).

При таких соглашениях и обозначениях определение поверхностного интеграла второго
рода аналогично определению интеграла первого рода. А именно: поверхностным интегралом второго рода
называется предел данной интегральной суммы при стремлении к нулю наибольшего из диаметров частей
рассматриваемой поверхности.

Записывается он так:

.

В данном случае функция R(x,y,z)
интегрируема по переменным x и y, так как части поверхности проецировались на
плоскость xOy.

Аналогично можно записать и два других поверхностных интеграла второго рода:

(функция P(x,y,z) интегрируема
по переменным y и z, так как части поверхности проецируются на плоскость yOz),

(функция Q(x,y,z) интегрируема
по переменным z и x, так как части поверхности проецируются на плоскость zOx).

Сумма этих интегралов

называется общим поверхностным интегралом второго рода и обозначается

Вычисление поверхностного интеграла второго рода

Поверхностный интеграл второго рода вычисляется путём разложения общего поверхностного
интеграла второго рода на сумму поверхностных интегралов (см. окончание предыдущего параграфа) и сведением каждого из них к двойному интегралу.

Рассмотрим подробно вычисление интеграла

.

Пусть поверхность σ задана уравнением
z = z(xy). Положительную
сторону поверхности обозначим ,
отрицателную , а проекцию
на плоскость xOyDxy.

Таким образом, получаем формулу для вычисления поверхностного интеграла второго рода:

.

Если выбрана отрицательная сторона поверхности, то знак интеграла меняется:

.

Аналогично вычисляются два других отдельных интеграла — слагаемых общего:

,

.

Пример 2. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

,

где σ — верхняя сторона части плоскости
, отсечённая
плоскостями y = 0 и y = 4
и находящаяся в первом октанте.

Решение. Чертёж — на рисунке сверху. По определению получаем сумму трёх двойных интегралов:

Второй интеграл равен нулю, так как плоскость σ
параллельна оси Oy. Поэтому найдём первый и третий интегралы:

Остаётся лишь сложить все отдельные интегралы и получить общий поверхностный интеграл
второго рода:

.

Если требуется вычислить поверхностный интеграл второго рода по замкнутой поверхности,
можно перейти к тройному интегралу, используя формулу Остроградского. Тогда, если функции
P(x,y,z), Q(x,y,z)
и R(x,y,z) и их частные производные
,
,
— непрерывные функции
в области W, которую ограничивает замкнутая поверхность
σ, то при интегрировании по внешней стороне поверхности в силе
равенство

Пример 3. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

,

где σ
внешняя сторона поверхности конуса, образованного поверхностью

и плоскостью z = 2.

Решение. Данная поверхность является поверхностью конуса с радиусом
R = 2 и высотой
h = 2. Это замкнутая поверхность, поэтому
можно использовать формулу Остроградского. Так как P = 3x,
Q = 4y, R = −z,
то частные производные ,
,
.

Переходим к тройному интегралу, который и решаем:

Больше примеров на вычисление поверхностных интегралов

Пример 4. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

,

где σ
боковая поверхность конуса
при .

Решение. Так как частные производные
,
, то

Сводим данный поверхностный интеграл к двойному:

.

Проекцией поверхности на плоскость xOy является круг с центром в начале
координат и радиусом R = 2,
поэтому при вычислении двойного интеграла перейдём к полярной системе координат. Для этого сделаем
замену переменных:

Получаем следующий интеграл, который окончательно и решаем:

Пример 5. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

,

где σ
верхняя часть треугольника, образованного пересечением плоскости
с координатными плоскостями.

Решение. Данный поверхностный интеграл разделим на сумму двух интегралов

, где

,

.

Чтобы вычислить интеграл I1,
построим проекцию поверхности σ на плоскость yOz. Проекцией
является треугольник OCB,
который на плоскости yOz ограничивают прямые
или ,
y = 0 и z = 0.
Из уравнения плоскости выводится .
Поэтому можем вычислить интеграл I1:

Чтобы вычислить интеграл I2,
построим проекцию поверхности σ на плоскость zOx.
Проекцией является треугольник AOC, который ограничивают прямые
или ,
x = 0 и z = 0.
Вычисляем:

Складываем два полученных интеграла и окончательно получаем данный поверхностный
интеграл:

.

Пример 6. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

,

где σ
внешняя поверхность пирамиды, образованной плоскостью
и координатными плоскостями.

Решение. Данный поверхностный интеграл вычислим двумя способами

1) интегрируя по каждой грани пирамиды;

2) используя формулу Остроградского.

1) Вычисление интегрированием по каждой грани пирамиды.

а) Вычислим интеграл по треугольнику ABC. Для
этого разделим интеграл на сумму трёх интегралов, которые отдельно решим:

;

Складываем и получаем:

.

б) Вычислим поверхностный интеграл по треугольнику AOB,
который находится в плоскости z = 0. Тогда
dz = 0 и, учитывая, что нормальный вектор плоскости
образует с осью Oz тупой угол, получаем

в) Треугольник AOC
находится в плоскости y = 0, таким образом,
dy = 0 и (нормальный вектор плоскости образует с
осью Oy тупой угол) получаем

г) Осталось вычислить поверхностный интеграл по треугольнику CBO
находится в плоскости x = 0, таким образом,
dx = 0 и получаем

.

В результате получаем данный поверхностный интеграл второго рода:

.

2) Используя формулу Остроградского, от поверхностного интеграла по замкнутой
поверхности перейдём к тройному интегралу, где W — область,
ограниченная поверхностью σ. Так как
P = xz,
Q = 1,
R = 2y,
то частные производные ,
,
.

Получаем следующее решение данного поверхностного интеграла:

В последнем примере вернёмся к вычислению поверхностного интеграла первого рода.

Пример 7. Вычислить площадь поверхности параболоида
во внутренней части
сферы .

Решение. Определим, при каком значении z
данные поверхности пересекаются:

Значение −3 не подходит, поэтому остаётся только z = 1.

Обозначим через C часть поверхности данного
параболоида во внутреней стороне сферы. Проекция поверхности C
(обозначим её D) на плоскость xOy является кругом с центром
в начале координат и радиусом √2, так как при
z = 1 получаем уравнение окружности
. Решаем
поверхностный интеграл первого рода:

.

Так как

то

.

Проекцией поверхности на плоскость xOy является круг,
поэтому при вычислении двойного интеграла перейдём к полярной системе координат. Для этого сделаем
замену переменных:

Получаем окончательное решение данного поверхностного интеграла:

  • Вычисление двойных интегралов
  • Двойные интегралы в полярных координатах
  • Вычисление тройных интегралов
  • Вычисление криволинейных интегралов
  • Интегралы по замкнутому контуру, формула Грина
  • Вычисление поверхностных интегралов

Поделиться с друзьями

Ссылка на основную публикацию