Вычисление площадей плоских фигур с помощью интеграла

На этом уроке будем учиться вычислять площади плоских фигур, которые
называются криволинейными трапециями.

С одной стороны, найти площадь плоской фигуры с помощью определённого интеграла
предельно просто. Речь идёт о площади фигуры, которую сверху ограничивает некоторая кривая, снизу — ось
абсцисс (Ox), а слева и справа — некоторые прямые. Простота в том,
что определённый интеграл функции, которой задана кривая, и есть площадь такой фигуры (криволинейной трапеции).

Но здесь нас подстерегают некоторые важные нюансы, без понимания которых не решить
большинство задач на это практическое приложение определённого интеграла. Учтём эти нюансы и будем во
всеоружии.

Отдельно ещё о некоторых нюансах.

Кривая, которая ограничивает криволинейную трапецию сверху (или снизу)
должна быть графиком непрерывной и неотрицательной функции y = f(x).

Значения «икса» должны принадлежать отрезку [a, b]. То есть
не учитываются такие, например, линии, как разрез гриба, у которого ножка вполне вписывается в этот отрезок,
а шляпка намного шире.

Боковые отрезки могут вырождаться в точки. Если вы увидели такую фигуру на чертеже,
это не должно вас смущать, так как эта точка всегда имеет своё значение на оси «иксов». А значит с пределами
интегрирования всё в порядке.

Теперь можно переходить к формулам и вычислениям. Итак, площадь s
криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле

 (1).

Если же f(x) ≤ 0 (график функции расположен ниже оси Ox),
то площадь криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле

. (2)

Есть ещё случаи, когда и верхняя, и нижняя границы фигуры — функции, соответственно
y = f(x) и y = φ(x), то площадь такой фигуры
вычисляется по формуле

. (3)

Начнём со случаев, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (1).

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции
, осью абсцисс (Ox)
и прямыми x = 1, x = 3.

Решение. Так как y = 1/x > 0
на отрезке [1; 3], то площадь криволинейной трапеции находим по формуле (1):

.

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции
,
прямой x = 1 и осью абсцисс (Ox).

Решение. Результат применения формулы (1):

Если

то s = 1/2;
если

то s = 1/3, и т.д.

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции
, осью абсцисс (Ox)
и прямой x = 4.

Решение. Фигура, соответствующая условию задачи — криволинейная трапеция, у которой левый отрезок выродился в
точку. Пределами интегрирования служат 0 и 4. Поскольку ,
по формуле (1) находим площадь криволинейной трапеции:

.

Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
,
,
и
находящейся в 1-й четверти.

Решение. Чтобы воспользоваться формулой (1), представим площадь фигуры,
заданной условиями примера, в виде суммы площадей треугольника OAB и криволинейной
трапеции ABC. При вычислении площади треугольника OAB
пределами интегрирования служат абсциссы точек O и A, а для фигуры ABC —
абсциссы точек A и C (A является точкой пересечения прямой OA и
параболы, а C — точкой пересечения параболы с осью Ox).
Решая совместно (как систему) уравнения прямой и параболы, получим

(абсциссу точки A) и
(абсциссу другой точки пересечения прямой и параболы, которая для решения не нужна). Аналогично
получим ,
(абсциссы точек
C и D). Теперь у нас еть всё для нахождения площади фигуры. Находим:

Пример 5. Найти площадь криволинейной трапеции ACDB,
если уравнение кривой CD
и абсциссы A и B соответственно 1 и 2.

Решение. Выразим данное уравнение кривой через игрек:
Площадь криволинейной
трапеции находим по формуле (1):

.

Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой
и осью
абсцисс (Ox).

Решение. Данная фигура расположена ниже оси абсцисс. Поэтому для вычисления её
площади воспользуемся формулой (2). Пределами интегрирования являются абсциссы
и
точек пересечения
параболы с осью Ox. Следовательно,

Пример 7. Найти площадь, заключённую между осью абсцисс (Ox)
и двумя соседними волнами синусоиды.

Решение. Площадь данной фигуры можем найти по формуле (2):

.

Найдём отдельно каждое слагаемое:

.

.

Окончательно находим площадь:

.

Пример 8. Найти площадь фигуры, заключённой между параболой
и кривой
.

Решение. Выразим уравнения линий через игрек:

Площадь по формуле (2) получим как

,

где a и b — абсциссы точек A и B. Найдём их,
решая совместно уравнения:

Отсюда

Окончательно находим площадь:

Пример 9. Найти площадь фигуры, заключённой между параболами
и
.

Решение. Требуется вычислить площадь фигуры AmBn,
у которой боковые отрезки выродились в точки A и B пересечения парабол.
Решая совместно (как систему) уравнения парабол, находим их абсциссы: и
. На отрезке [-1, 5]
получаем .
Следовательно, по формуле (3) находим площадь фигуры:

Пример 10. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций
и
.

Правильное решение и ответ.

Пример 11. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой
, прямой
и осью
Ox (y=0).

Правильное решение и ответ.

Пример 12. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций
,
и прямыми
и
.

Решение. Так как
на отрезке [0, 2], то, используя для нахождения площади формулу (3),
получим

Пример 13. Найти площадь фигуры, заключённой между параболой
и прямой
.

Решение. Находим абсциссы точек пересечения параболы и прямой: и
. Так как
на отрезке [0, 4],
то по формуле (3) находим площадь фигуры: