Возрастание, убывание и монотонность функции

Исследование функции на возрастание и убывание может быть как
самостоятельной задачей, так и одним из этапов полного исследования функции и
построения её графика.

Функции, у которых имеет место убывание или возрастание на некотором числовом промежутке, называются монотонными функциями.

Возрастание функции. Функция называется возрастающей на интервале ]a, b[,
принадлежащем области определения функции, если бОльшим значениям независимой переменной из этого интервала соответствуют бОльшие значения функции, т.е. если

x2 > x1 → f(x2) > f(x1)
для всех x1 и x2, принадлежащих интервалу.

Убывание функции. Функция называется убывающей на интервале ]a, b[, если бОльшим значениям независимой переменной из этого интервала соответствуют меньшие значения функции, т.е. если

x2 > x1 → f(x2) < f(x1)
для всех x1 и x2, принадлежащих интервалу.

Теорема 1. Если во всех точках некоторого промежутка
производная функции равна нулю (f ‘(x) = 0),
то функция f(x)
сохраняет в этом промежутке постоянное значение.

Этот промежуток может быть замкнутым или открытым, конечным или бесконечным.

Теорема 2 (достаточный признак возрастания). Если
во всех точках некоторого промежутка производная функции больше нуля (f ‘(x) > 0),
то функция f(x)
возрастает в этом промежутке.

Теорема 3 (достаточный признак убывания). Если
во всех точках некоторого промежутка производная функции меньше нуля (f ‘(x) < 0),
то функция f(x)
убывает на этом промежутке.

Замечание. Условия теорем 2 и 3 не являются в полной
мере необходимыми. Их можно несколько ослабить, а именно заменить нестрогими неравенствами и считать, что
производная функции больше или равна нулю (f ‘(x) ≥ 0)
или меньше или равна нулю (f ‘(x) ≤ 0),
так как заключения теорем остаются справедливыми и тогда, когда производная обращается
в нуль в конечном множестве точек.

Пример 1. Найти промежутки возрастания и убывания
функции

Решение. Находим производную функции:

(Для разложения квадратного двухчлена на множители решали
квадратное уравнение).

Для отыкания промежутков возрастания и убывания функции найдём
точки, в которых .
Такими точками являются и
.

Исследуем знаки производной в промежутках, ограниченных этими точками. От до точки
знак положителен,
от точки до
точки
знак отрицателен, от точки
до знак
положителен. Ответ на вопрос задания: промежутки возрастания данной функции —
и
, а
промежуток убывания функции — .

Пример 2. Найти промежутки возрастания и убывания
функции .

Решение. Находим производную функции:

Решая уравнение ,
получаем точки, в которых производная функции равна нулю:

.

Исследуем знаки производной. От до
точки знак
положителен, от точки до
точки
знак отрицателен, от точки до
знак положителен.
Наше исследование показало, что промежутки возрастания данной функции и
, а
промежуток убывания —

Пример 3. Найти промежутки возрастания и убывания
функции .

Решение. Область определения функции — промежуток
, так как
логарифмическая функция определена при .

Далее находим производную функции:

.

Решая уравнение ,
получаем точку, в которой производная равна нулю:

Исследуем знаки производной. От 0 до точки
знак отрицателен, от точки до
знак положителен.
Ответ: промежуток убывания функции — , а
промежуток возрастания — .