Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции

  • Как получить уравнение касательной и уравнение нормали
  • Решаем задачи вместе
  • Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решение
  • Снова решаем задачи вместе

Как получить уравнение касательной и уравнение нормали

Касательная — это прямая, которая касается графика функции в одной точке и все точки
которой находятся на наименьшем расстоянии от графика функции. Поэтому касательная проходит касательно
графика функции под определённым углом и не могут проходить через точку касания несколько касательных
под разными углами. Уравнения касательной и уравнения
нормали к графику функции составляются с помощью производной.

Уравнение касательной выводится из уравнения прямой.

Выведем уравнение касательной, а затем — уравнение нормали к графику функции.

Вспомним уравнение прямой с угловым коэффициентом:

y = kx + b.

В нём k — угловой коэффициент.

Отсюда получаем следующую запись:

y — y0 = k(x — x0).

Значение производной f ‘(x0)
функции y = f(x) в точке
x0 равно угловому коэффициенту
k = tgφ касательной к графику функции,
проведённой через точку M0(x0y0),
где y0 = f(x0).
В этом состоит геометрический смысл производной.

Таким образом, можем заменить k на f ‘(x0)
и получить следующее уравнение касательной к графику функции:

y — y0 = f ‘(x0)(x — x0).

В задачах на составление уравнения касательной к графику функции (а мы уже скоро
к ним перейдём) требуется привести
получившееся по вышеприведённой формуле уравнение к уравнению прямой в общем виде.
Для этого нужно все буквы и числа перенести в левую часть уравнения, а в правой части оставить ноль.

Теперь об уравнении нормали. Нормаль — это прямая, проходящая через точку касания к графику
функции перпендикулярно касательной. Уравнение нормали:

(x — x0) + f ‘(x0)(y — y0) = 0

Переходим к примерам. Для решений потребуется таблица производных (откроется в новом окне).

Для разминки первый же пример прелагается решить самостоятельно, а затем посмотреть
решение. Есть все основания надеяться, что для наших читателей эта задача не будет «холодным душем».

Пример 0. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к
графику функции
в точке M (1, 1).

Правильное решение и ответ.

Решаем задачи вместе

Пример 1. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к
графику функции , если абсцисса точки
касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке
запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем

В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому
отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:

На рисунке ниже: график функции бордового цвета, касательная зелёного цвета, нормаль
оранжевого цвета.

Следующий пример — тоже не сложный: функция, как и в предыдущем, также представляет
собой многочлен, но угловой коэффициен не будет равен нулю, поэтому добавится ещё один шаг — приведение
уравнения к общему виду.

Пример 2. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к
графику функции , если абсцисса точки
касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Подставляем все полученные данные в «формулу-болванку» и получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой
части, а в правой оставляем ноль):

Составляем уравнение нормали:

Пример 3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к
графику функции , если абсцисса точки
касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Находим уравнение касательной:

Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного «причесать»:
умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 4. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к
графику функции ,
если абсцисса точки касания .

Правильное решение и ответ.

Пример 5. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к
графику функции ,
если абсцисса точки касания .

Правильное решение и ответ.

Снова решаем задачи вместе

Пример 6. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к
графику функции , если абсцисса точки
касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Распространённая ошибка при составлении уравнений касательной и нормали —
не заметить, что функция, данная в примере, — сложная и вычислять её производную как производную
простой функции. Следующие примеры — уже со сложными функциями
(соответствующий урок откроется в новом окне).

Пример 7. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к
графику функции , если абсцисса точки
касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Внимание! Данная функция — сложная, так как аргумент тангенса (2x)
сам является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Пример 8. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к
графику функции , если абсцисса точки
касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Как и в предыдущем примере, данная функция — сложная, так как степень ()
сама является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Поделиться с друзьями

  • Что такое производная
  • Найти производную: алгоритмы и примеры решений
  • Производные произведения и частного функций
  • Производная суммы дробей со степенями и корнями
  • Производные простых тригонометрических функций
  • Производная сложной функции
  • Производная логарифмической функции
  • Дифференциал функции
  • Дифференциал сложной функции, инвариантность формы дифференциала
  • Правило Лопиталя
  • Частные производные
Ссылка на основную публикацию