Тригонометрические функции

В школьной программе изучаются четыре тригонометрических функции — синус, косинус, тангенс и котангенс. В этой статье мы рассмотрим графики и основные свойства этих функций.

1. Начнем с построения графика функции y = sin x.

Выберем подходящий масштаб. По оси X: три клетки примем за displaystyle frac{pi }{2} (это примерно полтора). Тогда displaystyle frac{pi }{6} — одна клеточка, displaystyle frac{pi }{3} — две клетки.
По оси Y : две клетки примем за единицу.

Область определения функции y = sin x — все действительные числа, поскольку значение sin α можно посчитать для любого угла α.

Вспомним, что у нас есть тригонометрический круг, на котором обозначены синусы и косинусы основных углов. Удобнее всего отметить на будущем графике точки, в которых значение синуса является рациональным числом.

x 0 displaystyle frac{pi }{6} displaystyle frac{pi }{2} displaystyle frac{5pi }{6} pi
sin x 0 displaystyle frac{1 }{2} 1 displaystyle frac{1 }{2} 0

Можем добавить, для большей плавности графика, точки displaystyle frac{pi }{3} и displaystyle frac{2pi }{3} . В них значение синуса равно frac{sqrt{3}}{2 }approx0,86
Соединим полученные точки плавной кривой.

Мы помним, что sin (-x)= - sin x. Это значит, что sin (-frac{pi }{6})=-frac{1}{2}; sin (-frac{pi }{2})=-1
Получается часть графика, симметричная той, которую нарисовали раньше.

Кроме того, значения синуса повторяются через полный круг или через целое число кругов, то есть

sin (x + 2pi n) = sin x.

Это значит, что функция y = sin x является периодической. Мы уже построили уча-сток графика длиной 2π. А теперь мы как будто «копируем» этот участок и повторяем его с периодом 2π:

Синусоида построена.
Перечислим основные свойства функции y = sin x.

1) D(y): x ∈ R, то есть область определения — все действительные числа.

2) E(y): y ∈ [−1; 1]. Это означает, что наибольшее значение функции y = sin x равно единице, а наименьшее — минус единице.

3) Функция y = sin x — нечетная. Ее график симметричен относительно нуля.

4) Функция y = sin x — периодическая. Ее наименьший положительный период равен 2π.

2. Следующий график: y = cos x. Масштаб — тот же. Отметим на графике точки, в которых косинус является рациональным числом:

x 0 displaystyle frac{pi }{3} displaystyle frac{pi }{2} displaystyle frac{2pi }{3} pi
cos x 1 displaystyle frac{1 }{2} 0 displaystyle -frac{1 }{2} -1

Поскольку cos (−x) = cos x, график будет симметричен относительно оси Y , то есть левая его часть будет зеркальным отражением правой.

Функция y = cos x — тоже периодическая. Так же, как и для синуса, ее значения повторяются через 2πn. «Копируем» участок графика, который уже построили, и повторяем периодически.

Перечислим основные свойства функции y = cos x.

1) D(y): x ∈ R, то есть область определения — все действительные числа.

2) E(y): y ∈ [−1; 1]. Это означает, что наибольшее значение функции y = cos x равно единице, а наименьшее — минус единице.

3) Функция y = cos x — четная. Ее график симметричен относительно оси Y .

4) Функция y = cos x — периодическая. Ее наименьший положительный период равен 2π.

Отметим еще одно свойство. Графики функций y = sin x и y = cos x весьма похожи друг на друга. Можно даже сказать, что график косинуса получится, если график синуса сдвинуть на displaystyle frac{pi }{2} влево. Так оно и есть — по одной из формул приведения,sin (x + displaystyle frac{pi }{2} ) = cos x.

Форма графиков функций синус и косинус, которые мы построили, очень характерна и хорошо знакома нам. Такой линией дети рисуют волны. Да, это и есть волны!

Функции синус и косинус идеально подходят для описания колебаний и волн — то есть процессов, повторяющихся во времени.

По закону синуса (или косинуса) происходят колебания маятника или груза на пружине. Переменный ток (тот, который в розетке) выражается формулой I(t) = I_0 cos(ωt+α). Но и это не все. Функции синус и косинус описывают звуковые, инфра– и ультразвуковые волны, а также весь спектр электромагнитных колебаний. Ведь то, что наш глаз воспринимает как свет и цвет, на самом деле представляет собой электромагнитные колебания. Разные длины волн света воспринимается нами как разные цвета. Наши глаза видят лишь небольшую часть спектра электромагнитных волн. Кроме видимого цвета, в нем присутствуют радиоволны, тепловое (инфракрасное) излучение, ультрафиолетовое, рентгеновское и гамма–излучение. Более того — объекты микромира (например, электрон) проявляют волновые свойства.

3. Перейдем к графику функции y = tg x.

Чтобы построить его, воспользуемся таблицей значений тангенса. Масштаб возьмем тот же — три клетки по оси X соответствуют frac{pi }{2} , две клетки по Y — единице. График будем строить на отрезке от 0 до π. Поскольку tg (x + πn) = tg x, функ-ция тангенс также является периодической. Мы нарисуем участок длиной π, а затем периодически его повторим.

Непонятно только, как быть с точкой x= frac{pi }{2} . Ведь в этой точке значение тангенса не определено. А как же будет вести себя график функции y = tg x при x, близких к frac{pi }{2} , то есть к 90 градусам?

Чтобы ответить на этот вопрос, возьмем значение x, близкое к 90^{circ}, и посчитаем на калькуляторе значения синуса и косинуса этого угла. Пусть x=89^{circ}.

Синус угла 89^{circ} — это почти 1. Точнее, sin 89^{circ} = 0,9998. Косинус этого угла близок к нулю. Точнее, cos 89^{circ} = 0,0175.

Тогда textup{tg}89^{circ}=frac{sin 89^{circ}}{cos 89^{circ}}=frac{0,9998}{0,0175}=frac{9998}{175}approx 59
график уйдет на 59 единиц (то есть на 118 клеток) вверх. Можно сказать, что если x стремится к 90^{circ} (то есть к frac{pi }{2} , значение функции y = tg x стремится к бесконечности.

Аналогично, при x, близких к -frac{pi }{2} , график тангенса уходит вниз, то есть стремится к минус бесконечности.

Осталось только «скопировать» этот участок графика и повторить его с периодом π.

Перечислим свойства функции y = tg x.

1) D(y):xin (-frac{pi }{2}+pi n; frac{pi }{2}+pi n) .
Другими словами, тангенс не определен для x= frac{pi }{2}+pi n) где n ∈ Z.
2) Область значений E(y) — все действительные числа.

3) Функция y = tg x — нечетная. Ее график симметричен относительно начала координат.

4) Функция y = tg x — периодическая. Ее наименьший положительный период равен π.

5) Функция y = tg x возрастает при xin (-frac{pi }{2}+pi n; frac{pi }{2}+pi n) то есть на каждом участке, на котором она непрерывна.

4. График функции y = ctg x строится аналогично. Вот он:

1) D(y):xin (pi n; pi n+pi) .
Другими словами, котангенс не определен для x= pi n где n ∈ Z.
2) Область значений E(y) — все действительные числа.

3) Функция y = сtg x — нечетная. Ее график симметричен относительно начала координат.

4) Функция y = сtg x — периодическая. Ее наименьший положительный период равен π.

5) Функция y = сtg x убывает при xin (pi n; pi n+pi) то есть на каждом участке, на котором она непрерывна.

Ссылка на основную публикацию