Точки разрыва функции и их виды

Определение точек разрыва функции и их видов является продолжением
темы непрерывности функции.
Наглядное (графическое) объяснение смысла точек разрыва функции даётся так же в
контрасте с понятием непрерывности. Научимся находить точки разрыва функции и определять их виды. И помогут
нам в этом наши верные друзья — левый и правый пределы, обобщённо называемые односторонними пределами. Если
у кого-то есть страх перед односторонними пределами, то скоро развеем его.

Точки на
графике, которые не соединены между собой, называются точками разрыва функции. График
такой функции, терпящей разрыв в точке x=2 — —
на рисунке ниже.

Обобщением вышесказанного является следующее определение. Если
функция не является непрерывной в точке ,
то она имеет в этой точке разрыв а сама точка называется точкой разрыва. Разрывы бывают
первого рода и второго рода.

Для того, чтобы определять виды (характер) точек разрыва функции нужно уверенно
находить пределы, поэтому нелишне открыть в новом окне соответствующий урок.
Но в связи с точками разрыва у нас появляется кое-что новое и важное — односторонние (левый и правый) пределы.
Обобщённо они записываются (правый предел)
и (левый предел). Как и в случае
с пределом вообще, для того, чтобы найти предел функции, нужно в выражение функции вместо икса подставить то, к чему
стремится икс. Но, возможно, спросите вы, чем же будут отличаться правый и левый пределы, если в случае правого к иксу хотя что-то и
прибавляется, но это что-то — ноль, а в случае левого из икса что-то вычитается, но это что-то — тоже ноль? И будете
правы. В большинстве случаев.

Но в практике поиска точек разрыва функции и определения их вида существует два типичных случая, когда
правый и левый пределы не равны:

• у функции существует два или более выражений, зависящих от участка числовой прямой, к которой принадлежит икс (эти выражения
  обычно записываются в фигурных скобках после f(x)=);
• в результате подстановки того, к чему стремится икс, получается дробь, в знаменателе которой остаётся или плюс ноль (+0)
  или минус ноль (-0) и поэтому такая дробь означает либо плюс бесконечность, либо минус бесконечность, а это
  совсем разные вещи.

Нахождение точек разрыва функции может быть как самостоятельной задачей,
так и частью Полного исследования функции и построения графика.

Точка разрыва первого рода: у функции существуют как
конечный (т. е. не равный бесконечности) левый предел, так и конечный правый предел,
но функция не определена в точке или левый и правый пределы различны (не равны).

Точка устранимого разрыва первого рода. Левый и правый пределы равны.
При этом существует возможность доопределить функцию в точке. Доопределить функцию в точке, говоря
просто, значит обеспечить соединение точек, между которыми находится точка, в которой
найдены равные друг другу левый и правый пределы. При этом соединение должно представлять
собой лишь одну точку, в которой должно быть найдено значение функции.

Пример 1. Определить точку разрыва функции

и вид (характер) точки разрыва.

Решение. Функция не определена в точке .
Находим левый и правый пределы функции в этой точке:

,

.

Левый и правый пределы равны, следовательно точка —
точка устранимого разрыва первого рода.

Есть возможность доопределить функцию:

График функции с точкой разрыва — под примером.

Точка неустранимого (конечного) разрыва первого рода. Существуют левый и правый пределы,
но они различны (не равны). Функцию невозможно доопределить. Разность пределов называется скачком.

Пример 2. Определить точку разрыва функции
и вид (характер) точки разрыва для функции

Решение. Очевидно, что в точке
меняется выражение функции. Найдём левый и правый пределы функции в этой точке:

,

.

Левый и правый пределы не равны равны, следовательно точка —
точка неустранимого (конечного) разрыва первого рода. График функции с точкой разрыва — под примером.

Пример 3. Определить точку разрыва функции
и вид (характер) точки разрыва для функции

Решение. Из выражения степени при e видно, что в точке
функция не определена. Найдём левый и правый пределы функции в этой точке:

,

.

Один из пределов равен бесконечности, поэтому точка —
точка разрыва второго рода. График функции с точкой разрыва — под примером.

Пример 4. Определить точку разрыва функции
и вид (характер) точки разрыва для функции

Решение. Из выражения степени при 2 видно, что в точке
функция не определена. Найдём левый и правый пределы функции в этой точке:

.

Пределы не равны и конечны, поэтому точка —
точка неустранимого разрыва первого рода. График функции с точкой разрыва — под примером.

Пример 5. Определить точку разрыва функции
и вид (характер) точки разрыва для функции

Решение. Очевидно, что в точке
функция не определена. Найдём левый и правый пределы функции в этой точке:

,

.

Оба предела бесконечны, поэтому точка —
точка разрыва второго рода. График функции с точкой разрыва — под примером.

Пример 6. Определить точку разрыва функции
и вид (характер) точки разрыва для функции

Посмотреть правильное решение и ответ.

Пример 7. Определить точку разрыва функции
и вид (характер) точки разрыва для функции

Посмотреть правильное решение и ответ.