Работа силы через криволинейный интеграл ІІ рода

Продолжаем предыдущий урок на тему «Применение криволинейных интегралов 2 рода».
Готовые ответы задач на работу силового поля помогут студентам выучить тему, и научат быстро находить нужные интегралы.

Пример 4.2 Найти работу силы F () при перемещении точки вдоль кривой C:
x2/4+y2/9=1
от точки A(- 2;0) к точке B(0;3).
Решение: Запишем уравнение заданного эллипса в параметрическом виде: x=2*cos(t), y=3*sin(t).

Наведем графически траекторию материальной точки вдоль эллипса.
контур интегрирования
Тогда дифференциал переменных по параметру будет равен dx=-2*sin(t)dt, dy=3*cos(t)dt .
При этом пределы интегрирования ограничатся точками Pi и Pi/2.
Найдем работу силы F по кривой C через криволинейный интеграл ІІ рода : формула работы силы
Пересмотрите внимательно формулы интегрирования синуса и косинуса, и понижения степени для таких функций.

 

Пример 4.4 Найти работу силы  по перемещению точки вдоль кривой C:
y=4-2x^2
от точки к точке
Решение: Построим траекторию движения материальной точки вдоль параболы L: y=4-2x2.

Вычисляем дифференциал дуги y=4-2x2, dy=-4x*dx и из условия выписиваем пределы интегрирования 
Работа силы F находим с помощью криволинейного интеграла второго рода
криволинейный интеграл 2 рода
Интегрирование занимает не мало времени и при превращениях можно допустить ошибку, поэтому будьте внимательные в этих местах.

 

Пример 4.11 Найти работу силы при перемещении вдоль кривой C:
y=ln(x)
от точки A(1;0) к точке B(e;1).
Решение: Траектория материальной точки вдоль логарифма имеет вид
Находим дифференциал логарифма y=ln (x), dy=dx/x.
Пределы интегрирования изменяются от единицы к экспоненте.
Работа силы F с помощью криволинейного интеграла ІІ рода примет значение:
вычисление работы силы
Здесь для логарифма применили правило интегрирования частями (u*dv).

 

Пример 4.13 Найти работу силы F при перемещении вдоль кривой C:
x2+y2=9
от точки A (0;-3) к точке , где F задана формулой

Решение: Построим траекторию движения материальной точки вдоль круга радиусом 3.
интегрирование по кругу

Чтобы не выражать две функции (верхняя и нижняя кривая круга) запишем зависимость x(y) и вычислим дифференциал дуги

При этом ордината изменяется от — 3 до 3/2.
Применяя криволинейный интеграл ІІ рода находим роботу силы F при перемещении вдоль круга:
робота силы, интеграл 2 рода
Бороться с корнями во время интегрирования непросто, о чем свидетельствует приведенные вычисления.
Намного проще вычислять интеграл при переходе к полярной системе координат.
Дальше наведем методику интегрирования:

ІІ — способ:
Параметризуэм заданный круг:

Учитывая, что во время движения от точки A(0;-3) к точке  угол изменяется от

Вычисляем искомый криволинейный интеграл ІІ рода : вычисление криволинейного интегралу ІІ рода
В плане вычислений второй метод более легкий, поэтому для круговых и эллиптических форм кривой при симметричном вхождении x, y в уравнение силы рекомендуем переходить к полярной системе координат.

 

Пример 4.15 Найти работу силы при перемещении вдоль кривой C:
4x2+y2=4
от точки A(0;2) к точке B (-1;0).
Решение: Траектория движения материальной точки по эллипсу приведена ниже

Записываем верхнюю дугу эллипса и ее производную. 

Пределы интегрирования изменяются от 0 к -1
Работа силы F через криволинейный интеграл второга рода выражается зависимостью:
криволинейный интеграл ІІ рода

 

Пример 4.18 Найти работу силы  по перемещению материальной точки вдоль кривой C:
y=cos(x)
от точки A(Pi/2;0) к точке B(-Pi/2;0).
Решение: Изобразим траекторию материальной точки вдоль косинуса

Построим дифференциал кривой y=cos(x), dy=-sin(x)*dx.
Он нужен для возведения криволинейного интегралу ІІ рода к определенному.
Находим работу силы F по перемещении вдоль контура интегрированием 
криволинейный интеграл
Для понижения под интегралом степеней косинуса и синуса применили известные тригонометрические формулы.

 

Пример 4.21 Найти работу силы при перемещении вдоль кривой C:
y=x3
от точки A(0;0) к точке B(2;8).
Решение: Построим траекторию материальной точки вдоль кривой y=x3.

Вычисляем дифференциал дуги dy=3x2dx.
Пределы интегрирования приведены на рисунку и в условии.
Работа силы F находим с помощью криволинейного интегралу ІІ рода:
криволинейный интеграл ІІ рода
Превращаем все к показательной форме и интегрируем.

 

Пример 4.23 Найти работу силы при перемещении вдоль кривой C: x2+2y2=2 от точки к точке
Решение: За инструкцией строим траекторию материальной точки вдоль эллипса: x2+2y2=2.

Для простоты вычислений криволинейного интеграла ІІ рода параметризуэм эллипс:

Учитывая, что от точки к точке угол изменяется в пределах  переходим к интегрированию
криволинейный интеграл ІІ рода
Понижаем степени и интегрируем.

 

Пример 4.24 Найти работу силы при перемещении вдоль кривой C:
y=1-|x|
от точки A(-1;0) к точке B(2;- 1).
Решение: Наведем траекторию материальной точки вдоль модуль функции.
кривая интегрирования
Как ни хотелось встретить задания с разбитием кривой на два интервала, однако одно Пример содержит такое условие. Разделим на две части: y=1+x, тогда пределы равны [-1;0] и дифференциал dy=dx;
На втором участке y=1-x имеем [0;2] и dy=-dx.
Вычисляем работу силы F, потраченную на перемещении точки вдоль модуль функции:
робота силы, интеграл
На этом ознакомление из такого сорта примерами завершено.
Больше готовых ответов из курса высшей математики ищите на страницах сайта.

Ссылка на основную публикацию