Производные простых тригонометрических функций

Для нахождения производной тригонометрической функции нужно пользоваться
таблицей производных, а именно производными 6-13.

При нахождении производных простых тригонометрических функций во избежание
распространённых ошибок следует обращать внимание на следующие моменты:

  • в выражении функции часто одно из слагаемых представляет собой синус, косинус или
    другую тригонометрическую функцию
    не от аргумента функции, а от числа (константы), поэтому
    производная этого слагаемого равна нулю;
  • почти всегда нужно упростить выражение, полученное в результате дифференцирования,
    а для этого нужно уверенно пользоваться знаниями по действиям с дробями;
  • для упрощения выражения почти всегда нужно знать тригонометрические тождества,
    например, формулу двойного угла и формулу единицы как сумму квадратов синуса и косинуса
    .

Пример 1. Найти производную функции

.

Решение. Допустим, с производной косинуса всё понятно, скажут многие,
начинающие изучать производные. А как быть с производной синуса двенадцати, делённых на
пи? Ответ: считать равной нулю! Здесь синус (функция всё-таки!) — ловушка, потому что
аргумент — не переменная икс или любая другая переменная, а просто число. То есть,
синус этого числа — тоже число. А производная числа (константы), как мы знаем из
таблицы производных, равна нулю. Итак, оставляем только минус синус икса и находим
его производную, не забывая про знак:

.

Ответ:

.

Пример 2. Найти производную функции

.

Решение. Второе слагаемое — тот же случай, что и первое слагаемое
в предыдущем примере. То есть, число, а производная числа равна нулю. Находим производную
второго слагаемого как производную частного:

Ответ:

Пример 3. Найти производную функции

.

Решение. Это уже другая задача: здесь в первом слагаемом нет ни
арксинуса, ни другой тригонометической функции, но есть икс, а значит, это функция
от икса. Следовательно, дифференцируем её как слагаемое в сумме функций:

Здесь потребовались навыки в действиях с дробями, а именно — в
ликвидации трёхэтажности дроби.

Пример 4. Найти производную функции

.

Решение. Здесь буква «фи» играет ту же роль, что «икс» в предыдущих
случаях (и в большинстве других, но не во всех) — независимой переменной. Поэтому,
когда будем искать производную произведения функций, не будем спешить объявлять
равной нулю производную корня от «фи». Итак:

Но на этом решение не заканчивается. Так как в двух скобках собраны
подобные члены, от нас ещё требуется преобразовать (упростить) выражение. Поэтому
умножаем скобки на вынесенные за них множители, а далее приводим слагаемые к общему
знаменателю и выполняем другие элементарные преобразования:

Пример 5. Найти производную функции

.

Решение. В этом примере от нас потребуется знание того факта, что
существует такая тригонометрическая функция — секанс — и её формулы через косинус. Дифференцируем:

Пример 6. Найти производную функции

.

Решение. В этом примере от нас потребуется помнить из школьного
курса формулу двойного угла. Но сначала дифференцируем:

Далее применяем следующие тригонометрические тождества:

,

(это и есть формула двойного угла)

и получаем:

.

Пример 7. Найти производную функции

.

Решение. В этом примере от нас потребуется всего-то лишь умение
сокращать дроби. И внимание — не забыть, что дробь нужно сократить. Это сделано на
последнем шаге решения:

В решении применено тригонометрическое тождество:

.

Поделиться с друзьями

  • Что такое производная
  • Найти производную: алгоритм и примеры решений
  • Производные произведения и частного функций
  • Производная суммы дробей со степенями и корнями
  • Производные простых тригонометрических функций
  • Производная сложной функции
  • Производная логарифмической функции
  • Дифференциал функции
  • Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
  • Правило Лопиталя
  • Частные производные
Ссылка на основную публикацию