Производная суммы дробей со степенями и корнями

При нахождении производной суммы дробей со степенями и корнями во избежание
распространённых ошибок следует обращать внимание на следующие моменты:

  • применяя формулу дифференцирования произведения и частного, чётко определять
    разницу между константой, производная которой равна нулю, и постоянным множителем,
    который просто выносится за знак производной;
  • необходимо уверенно пользоваться знаниями из школьного курса по действиям со
    степенями и корнями, например, что происходит с показателями степени, когда умножаются
    степени с одинаковыми основаниями;
  • что происходит со знаками, когда у производной слагаемого знак противоположен знаку
    самого слагаемого.

Пример 1. Найти производную функции

.

Решение. Находим производную первого слагаемого:

.

Находим производную второго слагаемого:

.

Находим производную третьего слагаемого:

.

Здесь двойка перед иксом — постоянный множитель, поэтому его просто вынесли за знак производной.

Собираем всё вместе:

.

Если требуется в окончательном решении получить выражение с корнями, то
преобразуем степени в корни и получаем искомую производную:

.

Пример 2. Найти производную функции

.

Решение. Находим производную первого слагаемого:

.

Здесь первая двойка в числителе промежуточного выражения была константой,
её производная равна нулю.

Находим производную второго слагаемого:

Находим производную третьего слагаемого:

Здесь применяли знания из школьного курса о действиях с дробями, их преобразовании и сокращении.

Собираем всё вместе, обращая внимание на то, что знаки производных первого и третьего
слагаемых противоположны знакам слагаемых в исходном выражении:

.

Пример 3. Найти производную функции

.

Решение. Находим производную первого слагаемого:

Здесь потребовались навыки в действиях с дробями.

Находим производную второго слагаемого:

Производная третьего слагаемого — константы 1/2 — равна нулю (бывает, что
студенты упорно пытаются найти отличную от нуля производную константы).

Собираем всё вместе, обращая внимание на то, что знак производной
второго слагаемого противоположен знаку слагаемого в исходном выражении:

Пример 4. Найти производную функции

.

Решение. Находим производную первого слагаемого:

Находим производную второго слагаемого:

Находим производную третьего слагаемого:

Собираем всё вместе, обращая внимание на то, что знаки производных второго и третьего
слагаемых — минусы:

.

Пример 5. Найти производную функции

.

Решение. Находим производную первого слагаемого:

Находим производную второго слагаемого:

Находим производную третьего слагаемого:

Собираем всё вместе, обращая внимание на то, что знак производной второго
слагаемого — минус:

.

Поделиться с друзьями

  • Что такое производная
  • Найти производную: алгоритм и примеры решений
  • Производные произведения и частного функций
  • Производная суммы дробей со степенями и корнями
  • Производные простых тригонометрических функций
  • Производная сложной функции
  • Производная логарифмической функции
  • Дифференциал функции
  • Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
  • Правило Лопиталя
  • Частные производные
Ссылка на основную публикацию