При нахождении производной суммы дробей со степенями и корнями во избежание
распространённых ошибок следует обращать внимание на следующие моменты:
- применяя формулу дифференцирования произведения и частного, чётко определять
разницу между константой, производная которой равна нулю, и постоянным множителем,
который просто выносится за знак производной; - необходимо уверенно пользоваться знаниями из школьного курса по действиям со
степенями и корнями, например, что происходит с показателями степени, когда умножаются
степени с одинаковыми основаниями; - что происходит со знаками, когда у производной слагаемого знак противоположен знаку
самого слагаемого.
Пример 1. Найти производную функции
.
Решение. Находим производную первого слагаемого:
.
Находим производную второго слагаемого:
.
Находим производную третьего слагаемого:
.
Здесь двойка перед иксом — постоянный множитель, поэтому его просто вынесли за знак производной.
Собираем всё вместе:
.
Если требуется в окончательном решении получить выражение с корнями, то
преобразуем степени в корни и получаем искомую производную:
.
Пример 2. Найти производную функции
.
Решение. Находим производную первого слагаемого:
.
Здесь первая двойка в числителе промежуточного выражения была константой,
её производная равна нулю.
Находим производную второго слагаемого:
Находим производную третьего слагаемого:
Здесь применяли знания из школьного курса о действиях с дробями, их преобразовании и сокращении.
Собираем всё вместе, обращая внимание на то, что знаки производных первого и третьего
слагаемых противоположны знакам слагаемых в исходном выражении:
.
Пример 3. Найти производную функции
.
Решение. Находим производную первого слагаемого:
Здесь потребовались навыки в действиях с дробями.
Находим производную второго слагаемого:
Производная третьего слагаемого — константы 1/2 — равна нулю (бывает, что
студенты упорно пытаются найти отличную от нуля производную константы).
Собираем всё вместе, обращая внимание на то, что знак производной
второго слагаемого противоположен знаку слагаемого в исходном выражении:
Пример 4. Найти производную функции
.
Решение. Находим производную первого слагаемого:
Находим производную второго слагаемого:
Находим производную третьего слагаемого:
Собираем всё вместе, обращая внимание на то, что знаки производных второго и третьего
слагаемых — минусы:
.
Пример 5. Найти производную функции
.
Решение. Находим производную первого слагаемого:
Находим производную второго слагаемого:
Находим производную третьего слагаемого:
Собираем всё вместе, обращая внимание на то, что знак производной второго
слагаемого — минус:
.
Поделиться с друзьями
- Что такое производная
- Найти производную: алгоритм и примеры решений
- Производные произведения и частного функций
- Производная суммы дробей со степенями и корнями
- Производные простых тригонометрических функций
- Производная сложной функции
- Производная логарифмической функции
- Дифференциал функции
- Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
- Правило Лопиталя
- Частные производные
Загрузка...
