Производная сложной функции

Пусть y – сложная функция x, т.е. y = f(u), u = g(x), или

Если g(x) и f(u) – дифференцируемые функции своих аргументов соответственно в точках x и u = g(x), то сложная функция также дифференцируема в точке x и находится по формуле

Типичная ошибка при решении задач на производные — машинальное перенесение правил
дифференцирования простых функций на сложные функции. Будем учиться избегать этой ошибки.

Посмотрите на
формулу 9 в таблице производных. Исходная функция является функцией от функции, причём аргумент x
является аргументом лишь второй функции, а вторая функция является аргументом первой функции, или,
согласно более строгому определению — промежуточным аргументом по независимой переменной x.

А теперь посмотрите на картинку ниже, которая иллюстрирует решение задач на сложные производные по аналогии с простым примером из кулинарии — приготовлении запечёных яблок, фаршированных ягодами.

Итак, «яблоко» — это функция, аргументом которой является промежуточный аргумент, а промежуточный аргумент по независимой переменной x,
в свою очередь, является «фаршем» (ягодами). Представим себе, что решая задачи на производные сложной функции, сначала помещаем яблоко с фаршем в особую (физико-математическую) духовку и устанавливаем режим 1.
При таком режиме духовка воздействует только на «яблоко», поскольку нужно, допустим, больше пропечь яблоко, а фарш из ягод оставить более сочным, то есть обрабатывать в другом режиме.
Итак, в при режиме 1 обрабатывается яблоко, а фарш остаётся незатронутым, или, ближе к нашим задачам, находим
производную функции лишь от промежуточного аргумента, то есть, «яблока». Затем в духовке устанавливается режим 2, который воздействует
только на фарш, иначе говоря, записываем производную функции, являющейся промежуточным аргументом по независимой переменной x.
И, в конце концов, записываем произведение производной «яблока» и производной «фарша». Можно подавать!

Пример 1.Найти производную функции

Сначала определим, где здесь «яблоко», то есть функция по промежуточному аргументу u,
а где «фарш», то есть промежуточный аргумент u по независимой переменной x.
Определяем: возведение в степень — это функция по промежуточному аргументу, то есть «яблоко», а выражение в скобках (разность двух тригонометрических функций) —
это промежуточный аргумент, то есть «фарш».

Тогда

Далее по таблице производных (производная суммы или разности, производные синуса и косинуса)
находим:

Требуемая в условии задачи производная (готовое «фаршированое яблоко»):

Пример 2.Найти производную функции

Неправильное решение: вычислять натуральный логарифм каждого слагаемого в скобках и искать сумму производных:

Правильное решение: опять определяем, где «яблоко», а где «фарш». Здесь натуральный логарифм от выражения в скобках — это «яблоко», то есть
функция по промежуточному аргументу u, а выражение в скобках — «фарш», то есть промежуточный аргумент u
по независимой переменной x.

Тогда (применяя формулу 14 из таблицы производных)

Пример 3.Найти производную функции

Неправильное решение:

Правильное решение. В очередной раз определяем, где «яблоко», а где «фарш». Здесь косинус
от выражения в скобках (формула 7 в таблице производных)- это «яблоко», оно готовится в режиме 1, воздействующем только на него,
а выражение в скобках (производная степени — номер 3 в таблице производных) — это «фарш», он готовится при режиме 2, воздействующей только на него. И как всегда соединяем две производные знаком произведения. Результат:

Пример 4.Найти производную функции

Применяем правило дифференцирования сложной функции, не забывая, что в полученном произведении производных
промежуточный аргумент по независимой переменной x не меняется:

Готовим второй сомножитель произведения и применяем правило дифференцирования суммы:

Второе слагаемое — корень, поэтому

Таким образом получили, что промежуточный аргумент, являющийся суммой, в качестве одного
из слагаемых содержит сложную функцию: возведение в степень — сложная функция, а то, что возводится
в степень — промежуточный аргумент по независимой переменной x.

Поэтому вновь применим правило дифференцирования сложной функции:

Степень первого сомножителя преобразуем в корень, а дифференцируя второй сомножитель,
не забываем, что производная константы равна нулю:

Теперь можем найти производную промежуточного аргумента, нужного для вычисления
требуемой в условии задачи производной сложной функции y:

Тогда

Пример 5.Найти производную функции

Сначала воспользуемся правилом дифференцирования суммы:

Получили сумму производных двух сложных функций. Находим первую из них:

Здесь возведение синуса в степень — сложная функция, а сам синус — промежуточный аргумент
по независимой переменной x. Поэтому воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции,
попутно вынося множитель за скобки:

Теперь находим второе слагаемое из образующих производную функции y:

Здесь возведение косинуса в степень — сложная функция f[g(x)],
а сам косинус — промежуточный аргумент по независимой переменной x.
Снова воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

Результат — требуемая производная:

Пример 6.Найти производную функции

Правильное решение и ответ.

Пример 7. Найти производную функции

.

Правильное решение и ответ.

Пример 8. Найти производную функции

.

Правильное решение и ответ.