Производная по направлению, градиент функции: объяснение, примеры

  • Понятие производной по направлению
  • Примеры нахождения производной по направлению
  • Градиент функции

Понятие производной по направлению

Понятие производной по направлению рассматривается для функций двух и трёх переменных.
Чтобы понять смысл производной по направлению, нужно сравнить производные по определению

1) функции одной переменной;

2) функции трёх переменных в нашем случае.

Рассматривая функцию одной переменной, мы выяснили, что на оси Oy
отображается приращение функции f(x), соответствующее приращению
аргумента x. Если мы имеем дело с функцией трёх переменных, то приращения
аргументов x, y, z
отображаются на осях Оx, Оy, Оz.
Сам собой напрашивается вопрос: а где можно отобразить приращение уже не аргументов, а функции трёх переменных?

И вот ответ на этот вопрос: приращение функции трёх переменных отображается на некоторой
прямой, направление которой определяется вектором, произвольно заданным в задаче
.

Если рассматривается функция двух или трёх переменных, то два или три измерения задают аргументы,
а упомянутая прямая, на которой отображается приращение функции, — это ещё одно измерение и для его акцентирования
назовём это измерение не третьим или четвёртым, а нулевым, следуя программистской традиции (в программировании отсчёт
чаще начинается не с единицы, а с нуля).

Для того, чтобы перейти к строгому математическому определению производной по направлению,
нужно рассмотреть:

1) функцию u = f(M),
определённую в окрестности точки M с координатами
x, y, z;

2) произвольный вектор l с направляющими косинусами
cosα, cosβ, cosγ.

геометрическое изображение смысла производной по направлению функции трёх переменных

Через точку M проводим прямую, одно из двух возможных
направлений которых совпадает с направлением вектора l. На получившейся
прямой отметим точку M1, координаты которой
образуют суммы координат точки M и приращений соответствующих
аргументов функции трёх переменных:

Величину отрезка MM1
можно обозначить .

Функция u = f(M) при этом
получит приращение

.

Определение производной по направлению. Предел отношения
при ,
если он существует, называется производной функции u = f(M)
по направлению вектора l и обозначается
, то есть

.

Формула, которой нужно пользоваться для нахождения производной по направлению, следующая:

.

Смысл этой формулы: производная по направлению является линейной комбинацией
частных производных
, причём
направляющие косинусы показывают вклад в производную по направлению
соответствующей частной производной.

Примеры нахождения производной по направлению

Пример 1. Найти производную функции
в точке M0(1; 2; 3) по направлению вектора
.

Решение. Найдём частные производные функции в точке M0:

Найдём направляющие косинусы, пользуясь определением скалярного произведения векторов:

Следовательно,

Теперь можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:

А сейчас — домашнее задание. В нём дана функция не трёх, а лишь двух переменных, но несколько
иначе задан направляющий вектор. Так что придётся вновь повторить векторную алгебру.

Пример 2. Найти производную функции
в точке M0(1; 2) по направлению вектора
, где M1
точка с координатами (3; 0).

Посмотреть правильное решение и ответ.


Вектор, задающий направление производной, может быть дан и в такой форме, как в следующем примере —
в виде разложения по ортам координатных осей, но эта хорошо знакомая тема из самого начала векторной алгебры.

Пример 3. Найти производную функции
в точке M0(1; 1; 1) по направлению вектора
.

Решение. Найдём направляющие косинусы вектора

Найдём частные производные функции в точке M0:

Следовательно, можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:

.

Градиент функции

Градиент функции нескольких переменных в точке M0
характеризует направление максимального роста этой функции в точке M0 и
величину этого максимального роста.

Как найти градиент?

Нужно определить вектор, проекциями которого на оси координат
являются значения частных
производных
,
,
этой функции в соответствующей точке:

.

То есть, должно получиться представление вектора по ортам координатных осей, в котором на каждый
орт умножается соответствующая его оси частная производная.

Для градиента функции двух переменных формула короче:

.

Пример 4. Найти градиент функции
в точке
M0(2; 4;).

Решение. Найдём частные производные функции в точке M0:

Следовательно, можем записать искомый градиент данной функции:

.

Поделиться с друзьями

  • Что такое производная
  • Найти производную: алгоритм и примеры решений
  • Производные произведения и частного функций
  • Производная суммы дробей со степенями и корнями
  • Производные простых тригонометрических функций
  • Производная сложной функции
  • Производная логарифмической функции
  • Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
  • Дифференциал функции
  • Дифференциал сложной функции, инвариантность формы дифференциала
  • Правило Лопиталя
  • Функция двух и более переменных. Её область определения
  • Поверхности второго порядка
  • Частные производные
  • Касательная плоскость и нормаль к поверхности
  • Производная по направлению, градиент функции
  • Экстремумы функции двух переменных
  • Условные экстремумы и функция Лагранжа
Ссылка на основную публикацию