Производная параметрически заданной функции. Примеры

В геометрии, механике, физике часто встречается параметрический способ задания уравнений которые описывают кривую на плоскости или в пространстве. Саму же линию можно рассматривать как геометрическое место последовательных положений движущейся точки, координаты и которой являются функциями вспомогательной переменной (времени, скорости, расстояния и т.д.). Вспомогательную переменную называют параметром, а уравнение функции – параметрическим. Например, кривая на плоскости определяется двумя уравнениями

Производная заданной функции первого порядка находится по правилу

Вторая производная определяется зависимостью

Аналогичным образом можно вывести производные старших порядков.

Рассмотрим несколько примеров для закрепления материала на практике.

——————————————-

Пример 1.

Найти производные функций заданных параметрически.

(Дубовик В.П., Юрик И.И. «Высшая математика. Сборник задач»)

1) (5.253)

2) (5.256)

3) (5.261)

4) (5.263)

Решение.

1) Вычислим производные функции и аргумента по параметру

Найденные значения подставляем в формулу производной

В данном случае, чтобы не выносить знак минус перед дробь, домножили на знаменатель и переставили слагаемые так, чтобы первыми шли положительные. Сама же кривая на плоскости будет иметь вид

2) Найдем производные по параметру

Вычисляем значение первой производной

Пример не сложен, главное правильно вычислить производные.

3) Вычисляем производные

Полученные значения подставим в формулу для производной

4) Продифференцируем функцию и аргумент по параметру

Полученные значения подставляем в формулу и упрощаем числитель и знаменатель по параметру

Из примеров видно, что вычисление производной от параметрически заданной функции не слишком сложное задание, главное знать формулы. Придерживайтесь последовательности выполнения действий, будьте внимательны при упрощении выражений и все у Вас получится правильно.

—————————————————-

Ссылка на основную публикацию