Производная параметрически заданной функции

  • Разбираем формулу параметрически заданной функции
  • Решаем задачи вместе
  • Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения

Разбираем формулу параметрически заданной функции

Наша задача — научиться находить производные функций, заданных параметрическими
уравнениями

или функциями.

Для этого требуется находить производные «обыкновенных» функций и упрощать выражения.

Определённую параметрическими уравнениями функцию y = f(x)
можно рассматривать как сложную функцию:

(y зависит от t),

(t зависит от x).

В этой паре формул нетрудно заметить, что t — промежуточный аргумент или параметр (отсюда и название —
параметрически заданная функция).

Функция
обратная для функции .

Существует очень простая формула для нахождения производной параметрически заданной
функции, при этом нет необходимости находить непосредственную зависимость y от x.

Вот эта формула:

,

или, что то же самое

.

Здесь производная игрека по иксу — требуемая в условии задачи производная параметрически заданной функции, в числителе —
производная второй из функций, которыми параметрически задана функция, в знаменателе — производная
первой из функций. Формула
доказана в математическом анализе на основании правил дифференцирования сложной функции и обратной функции.

Решаем задачи вместе

Пример 1. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Решение. Находим производную второй из функций, которыми параметрически задана данная функция:

.

Находим производную первой из функций:

.

Находим отношение этих производных:

.

Найденное отношение и есть производная данной параметрически заданной функции.


Пример 2. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Решение. Находим производную второй из функций, которыми параметрически задана данная функция:

.

Находим производную первой из функций:

.

Записываем отношение этих производных:

.

Подозреваем, что выражение получилось довольно сложное. Нельзя ли его упростить?
Оказывается, можно, если вспомнить из школьного курса тригонометрические функции половинного аргумента.
Результатом их применения и будет требуемая в задании производная параметрически заданной функции:

.

Пример 3. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Решение. Находим производную второй из функций, которыми параметрически задана данная функция:

.

Находим производную первой из функций:

.

Записываем отношение этих производных, производим одношаговое упрощение выражения и
получаем производную данной параметрически заданной функции:

.


Пример 4. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Решение. Находим производную второй из функций, которыми параметрически задана данная функция:

.

Находим производную первой из функций:

.

Записываем отношение этих производных, упрощаем и
получаем производную данной параметрически заданной функции:

.


Пример 5. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Решение. Находим производную второй из функций, которыми параметрически задана данная функция,
причёсываем» степени, но не преобразуем их в корни, так как нам ещё предстоит находить отношения найденных производных:

.

Находим производную первой из функций, так же оставляем всё со степенями:

.

Находим отношение этих производных, для этого пользуемся свойством степеней: чтобы разделить
выражение с некоторым аргументом в одной степени на выражение с тем же аргументом в другой степени, из
первого показателя степени нужно вычесть второй показатель степени. Таким образом,
получаем производную данной параметрически заданной функции:

Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 6. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Правильное решение и ответ.

Пример 7. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Правильное решение и ответ.

Пример 8. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Правильное решение и ответ.

Поделиться с друзьями

  • Что такое производная
  • Найти производную: алгоритм и примеры решений
  • Производные произведения и частного функций
  • Производная суммы дробей со степенями и корнями
  • Производные простых тригонометрических функций
  • Производная сложной функции
  • Производная логарифмической функции
  • Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
  • Дифференциал функции
  • Дифференциал сложной функции, инвариантность формы дифференциала
  • Правило Лопиталя
  • Функции нескольких переменных
  • Частные производные
  • Экстремумы функции двух переменных
  • Условные экстремумы и функция Лагранжа
Ссылка на основную публикацию