Производная функции, заданной неявно

  • Как найти производную функции, заданной неявно
  • Решаем задачи вместе
  • Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения

Как найти производную функции, заданной неявно

Будем учиться находить производные функций, заданных неявно, то есть заданных
некоторыми уравнениями, связывающими между собой переменные x и y. Примеры функций,
заданных неявно:

,

,

,

,

.

Производные функций, заданных неявно, или производные неявных функций, находятся
довольно просто. Сейчас же разберём соответствующее правило и пример, а затем выясним, для чего вообще
это нужно.

Для того, чтобы найти производную функции, заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения по иксу. Те слагаемые, в
которых присутствует только икс, обратятся в обычную производную функции от икса. А слагаемые с игреком
нужно дифференцировать, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, так как игрек — это функция
от икса. Если совсем просто, то в полученной производной слагаемого с иксом должно получиться:
производная функции от игрека, умноженная на производную от игрека. Например, производная слагаемого
запишется как
, производная
слагаемого запишется как
. Далее из всего этого
нужно выразить этот «игрек штрих» и будет получена искомая производная функции, заданной неявно.
Разберём это на примерах.

Решаем задачи вместе

Пример 1. Найти производную функции, заданной неявно:

.

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу, считая, что игрек — функция от икса:

.

Отсюда получаем производную, которая требуется в задании:

.

Теперь кое-что о неоднозначном свойстве функций, заданных неявно, и почему нужны
особенные правила их дифференцирования. В части
случаев можно убедиться, что подстановка в заданное уравнение (см. примеры выше) вместо игрека его
выражения через икс приводит к тому, что это уравнение обращается в тождество. Так. приведённое выше
уравнение неявно
определяет следующие функции:

,

.

После подстановки выражения игрека в квадрате через икс в первоначальное уравнение
получаем тождество:

.

Выражения, которые мы подставляли, получились путём решения уравнения относительно
игрека.

Если бы мы стали дифференцировать соответствующую явную функцию

,

то получили бы ответ как в примере 1 — от функции, заданной неявно:

.

Но не всякую функцию, заданную неявно, можно представить в виде y = f(x).
Так, например, заданные неявно функции

и

не выражаются через элементарные функции, то есть эти уравнения нельзя разрешить
относительно игрека. Поэтому и существует правило дифференцирования функции, заданной неявно, которое
мы уже изучили и далее будем последовательно применять в других примерах.

Пример 2. Найти производную функции, заданной неявно:

.

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:

.

Выражаем игрек штрих и — на выходе — производная функции, заданной неявно:

.

Пример 3. Найти производную функции, заданной неявно:

.

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:

.

Выражаем и получаем производную:

.


Пример 4. Найти производную функции, заданной неявно:

.

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:

.

Выражаем и получаем производную:

.


Пример 5. Найти производную функции, заданной неявно:

.

Решение. Переносим слагаемые в правой части уравнение в левую часть и справа оставляем ноль.
Дифференцируем обе части уравнения по иксу:

Путь к ответу и в конец сам ответ:

Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 6. Найти производную функции, заданной неявно:

Правильное решение и ответ.

Пример 7. Найти производную функции, заданной неявно:

Правильное решение и ответ.

Пример 8. Найти производную функции, заданной неявно:

Правильное решение и ответ.

Поделиться с друзьями

  • Что такое производная
  • Найти производную: алгоритм и примеры решений
  • Производные произведения и частного функций
  • Производная суммы дробей со степенями и корнями
  • Производные простых тригонометрических функций
  • Производная сложной функции
  • Производная логарифмической функции
  • Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
  • Дифференциал функции
  • Дифференциал сложной функции, инвариантность формы дифференциала
  • Правило Лопиталя
  • Функции нескольких переменных
  • Частные производные
  • Экстремумы функции двух переменных
  • Условные экстремумы и функция Лагранжа
Ссылка на основную публикацию