Примеры нахождения наклонных асимптот

В предыдущей статье наведены определения наклонных, вертикальных, горизонтальных асимптот. Сейчас же будут приведены примеры нахождения асимптот с применением правила Лопиталя. Его удобно применять при нахождении границ с неопределенностями типа ноль на ноль или бесконечность на бесконечность , то есть, когда есть границы вида

или

то по правилу Лопиталя ее значение равно

если функции дифференцируемы и определены в окрестности точки . Производную можно применять повторно до тех пор, пока не получим константу в числителе или знаменателе или дробь избавится особенности.

————————————

Примеры.

Найти асимптоты функций

І.

Решение:

Знаменатель дроби не должен превращаться в ноль

Область определения будет разбита на два интервала

Точка которая разбивает область определения будет вертикальной асимптотой . Найдем наклонную асимптоту согласно формулы

Первую неизвестную найдем с предела

Вторую определяем по правилу

Окончательное уравнение наклонной асимптоты следующее

Функцию с асимптотой изображено на графике

——————————————

ІІ.

Решение:

Функция определена во всех точках кроме тех, в которых знаменатель равен нулю. Найдем решения квадратного уравнения

Оба корня разбивают область определения на три интервала

а также являются вертикальными асимптотами функции. Наклонную асимптоту находим с применением правила Лопиталя

При вычислении констант , входящих в уравнение прямой, пришлось применить правило Лопиталя трижды для первой и дважды для второй неизвестной. В конечном итоге получили следующее уравнение наклонной асимптоты

График функции приведен ниже

—————————————

III.

Решение:

С виду функции следует что она определена во всех точках где определены корни

Накладывая оба промежутка получим область определения

Точка является вертикальной асимптотой функции. Вычислим коэффициенты, входящие в уравнение наклонной асимптоты. Применение правила Лопиталя к данному примеру никаких упрощений не даст поэтому используем другое

Упростим выражение в числителе

и подставим в границу

Уравнение наклонной асимптоты примет вид

График заданной функции с наклонной асимптотой следующий

—————————————

Приведенные решения частично ознакомили Вас с возможными примерами которые могут быть на практике. Для лучшего владения данной тематикой решайте задачи самостоятельно, изучайте удобные методики нахождения пределов функции которые позволят получить результаты быстрее.

————————————

Посмотреть материалы:

Ссылка на основную публикацию