Примеры интегрирования по частям

Примеры интегрирования по частям подобного состава задают студентам 1, 2 курсов. Данные задания задавали на контрольной работе в ЛНУ им. И. Франка. Чтобы формулы в задачах и ответах не повторялись же задачи описывать не будем. По условию заданий нужно или «Найти интеграл», или «Вычислить интеграл».
Пример 8. Интеграл находим по правилу интегрирования частями int(u*dv)=u*v-int(v*du). Здесь главное правильно выбрать функции под правило. (Для себя запомните что за dv если возможно выбирают периодические функции или такие, которые при дифференцировании с точностью до множителя дают сами себя — экспонента). В этом интеграле нужно синус внести под дифференциал
интегрирование по частям
Дальнейшее интегрирование достаточно простое и на деталях останавливаться не будем.
интегрирование
Пример 9.Снова нужно применять правило интегрирования по частям u*dv. Здесь имеем произведение периодической функции на экспоненту, поэтому что лучше вносить под дифференциал выбирать Вам. Можно как экспоненту, так и косинус (в каждом варианте получим рекуррентную формулу).
интегрирование по частям
Применяем интегрирование по частям повторно
интегрирование по частям
Пришли к рекуррентной формуле. Если записать интеграл который искали и результат вычислений то получим два подобные слагаемые
рекуррентная формула
Группируем их и находим искомый интеграл

интеграл
Пример 10. Имеем готовую запись интеграла под правило u*dv. Находим du и выполняем интегрирование
интегрирование по частям

Сводим второй интеграл под табличную формулу и вычисляем его

Пример 11. Обозначим за новую переменную cos(ln(x))=u і найдем du, затем внесением под дифференциал
интегрирование по частям

К интегралу повторно применяем правило интегрирования по частям
замена переменных
интеграл
Пришли к рекуррентной формуле
рекурентная формула
с которой и вычисляем неизвестный интеграл
интеграл
Пример 12. Для нахождения интеграла выделим в знаменателе полный квадрат. Далее сведя знаменатель к известной формуле интегрирования получим арктангенс
интегрирование квадратических функций
интегрирование функции
Хорошо запомните порядок чередования множителей. Единица разделена на корень из свободного члена фигурирует перед арктангенсом, также этот множитель присутствует в арктангенс перед переменной.
Пример 13. Дело имеем с подобным интегралом, только в знаменателе квадратичная зависимость находится под корнем. Выделяем полный квадрат и сводим под формулу интегрирования, которая дает логарифм
интегрирование функции
интегрирование функции
Вот такие бывают примеры на контрольной или тестах. Хорошо запомните основные схемы интегрирования.
Если не можете решить интеграл сами, тогда обращайтесь за помощью.

Готовые решения контрольной по интегрированию

Ссылка на основную публикацию