Примеры интегрирования функций

Ниже приведены примеры интегрирования, каторые охватывают значительную часть разнообразных способов нахождения неопределенного интеграла. Такого типа примеры интегрирования функций Вы чаще всего увидите на 1,2 курсах учебы из высшей математики. Ниже приведены ответы одновременно и объясняют методику взятия интегралов, и служат инструкцией по их вычислению. Чтобы сэкономить время и место самих условий до примеров мы не выписывали.

Пример 1. Если бы перед интегралом имели множителем «икс», то его можно было бы внести под дифференциал и провести замену переменных.
Однако интеграл более сложен, потому выражения в скобках подносим к кубу, а дальше выполняем интегрирование каждого из слагаемых.
интегрирования

Пример 2. Задана дробная функция в знаменателе которой содержится иррациональность. Чтобы от нее избавиться функцию под корнем обозначим за новую переменную, дальше находим ее дифференциал и подставляем в интеграл. После незначительных манипуляций с показателями вычисляем интеграл, и вместо переменной подставляем выполненную замену.
замена переменных под интегралом

Пример 3. Кто часто вычисляет интегралы или хорошо знает теорию интегралов, то в этом и подобных заданиях за новую переменную выбирает логарифм. При дифференцировании логарифма получаем единицу разделенную на «икс», который значительно упрощает дальнейшее интегрирование.
Напоследок не забывайте в примерах на замену переменных перейти к начальной переменной «икс».
замена переменных под интегралом

Пример 4. Выполняем интегрирование частями, для этого синус вносим под дифференциал
интегрирования частями
После первого раза опять получим интеграл, который вычисляем интегрированием частями.
интегрирования частями

Пример 5. Имеем задание под правило интегрирования частями u*dv. За переменную выбираем экспоненту, а синус вносим под дифференциал.
интегрирования частями
После повторного интегрирования частями придем к рекуррентной формуле, из которой и определяем интеграл.
рекуррентная формула в интегрировании

Пример 6. В этом интеграле квадратный трехчлен, который стоит в знаменателе надо возвести к сумме или разнице квадратов.
интегрирования функции
Дальше за формулами интегрирования получим арктангенс.
интеграл равен арктангенсу

Пример 7. Интегрирование произведения тригонометрических функций дается не всем студентам, и здесь нужно учитывать как степени, так и сам вид функций.
В этом примере один косинус нужно внести под дифференциал и свести задание к интегрированию функции от синуса.
интеграл от тригонометрических функций

Сам интеграл не сложен и находится по правилу степенных функций .

Пример 8. Если имеем синусы или косинусы в показателях больше единицы, то за тригонометрическими формулами их надо расписать вплоть до первой степени. Дальше применяют формулы интегрирования синусов или косинусов.
интегрирования синуса
интегрирования косинуса

Пример 9. Чтобы найти интеграл от дробной функции сначала разделим числитель на знаменатель, и полученную в остатке дробь распишем на самые простые дроби. После этого, используя формулы интегрирования, вычисляем значение каждого из интегралов.
интегрирования дробной функции

Пример 10. Имеем интеграл от дробной функции
интеграл
Записываем ее через самые простые дроби первого и второго типов.
расписание на простые дроби
Дальше возводим дроби под общий знаменатель и из условия равенства числителей складываем систему линейных уравнений для вычисления неизвестных постоянных.
возведения под общий знаменатель
система линейных уравнений
После ее решения возвращаемся к дроби, подставляем сталые и выполняем интегрирование.
интегрирования дробей

Пример 11. Имеем интеграл от дробной иррациональной функции. Для раскрытия иррациональности выполняем следующую замену переменных под интегралом
интегрирования ирраціональных функций
В результате придем к дробной рациональной функции под интегралом, которую расписав на простые дроби легко проинтегрировать.

Пример 12. В этом задании чтобы избавиться иррациональности под интегралом необходимо использовать одну известную схему.
Она заключается в том, что проведя следующую замену переменных придем к рациональной функции от косинуса.
замена переменных под интегралом
интегрирования
После интегрирования возвращаемся к выполненной замене и на этом вычислению можно завершить.
Однако, если иметь под рукой тригонометрические формулы то ответ можно упростить и записать в более компактном виде.
превращения функции
превращения функции

Пример 13. Имеем в знаменателе рациональную функцию от косинуса и синуса. Такие интегралы следует находить через универсальную тригонометрическую замену t=tg (x/2)
универсальная тригонометрическая замена
После подстановки формул синус и косинуса через тангенс половины кута подинтегральная функция превратится к дробной, в знаменателе которой будем иметь квадратный трехчлен. Его возводим к квадрату выражения, которое содержит переменную и интегрируем по правилу степенных функций .
интегрирования
После интегрирования не забываем, что наше t=tg (x/2) и подставляем его в формулу интеграла.

На этом подборка примеров завершается, больше примеров Вы найдете в категории интегрирования.
Для увеличения базы готовых интегралов присылайте интересные примеры на Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра. или заказывайте у нас решение контрольных и расчетных работ.

Ссылка на основную публикацию