Применение производной для исследования функции

Без производной невозможно определить промежутки возрастания и убывания функции, точки перегиба, если таковые существуют. Суть таких исследований — облегчить построение графика функции, ведь если Вы нашли указанные промежутки то на их границах функция имеет локальные экстремумы и остается найти в них значения и построить график функции. Правила нахождение интервалов возрастания функции достаточно просты и понятны каждому.

Признак возрастания функции

Если производная функции больше нуля f ‘(x)> 0 на некотором промежутке то функция f (x) возрастает на этом промежутке.

И обратное утверждение.

Признак убывания функции

Если производная функции отрицательная f ‘(x) <0 на некотором интервале то функция f (x) приходит в данном интервале.

Пример 1. Найти промежутки возрастания и убывания функции
f(x)=x^3-6*x ^ 2 — 15x
.
Решение: Вычисляем производную функции по переменной
производная функции
Приравняем производную к нулю и определяем стационарные точки
производная функции
По теореме Виета корни квадратного уравнения равны x = 1; x = 5.
Точки разбивают числовую ось на три интервала
интервалы монотонности
Знак производной определяем подстановкой точки из интервала.

Запомните: для быстрого определения знака производной всегда выбирайте ноль если он не является стационарной точкой или иную точку, в которой легко вычислить значение производной.

В нуле производная меньше нуля

следовательно на интервале (-1; 5) функция убывает, а на двух соседних растет.
знаки производной
График функции имеет вид
график функции

Пример 2. Исследовать функцию f (x) = x ^ 4-8 * x ^ 2 — 5 и найти промежутки возрастания.
Решение: Заданная функция парная
условие четности
Найдем интервалы монотонности функции. Для этого вычислим производную
производная функции
стационарные точки
Получили три точки которые разбивают числовую ось на 4 интервала

Знак производной определяем подстановкой единицы
знак производной
Таким образом интервале (0, 2) функция убывает, на соседних интервалах знаки производной чередуются
интервалы монотонности

В ответе получим 2 интервала возрастания функции
интервалы роста функции
Для наглядности график функции приведен ниже

график функции

Другое применение производной относится к нахождению интервалов выпуклости и вмятины графика функции. При этом нужно находить вторую производную и выполнять соответствующий анализ.

Ссылка на основную публикацию