Правило Лопиталя: теория и примеры решений

  • Правило Лопиталя и раскрытие неопределённостей
  • Раскрытие неопределённостей видов «ноль делить на ноль» и «бесконечность делить на бесконечность»
  • Применить правило Лопиталя самостоятельно, а затем посмотреть решение
  • Раскрытие неопределённостей вида «ноль умножить на бесконечность»
  • Раскрытие неопределённостей видов «ноль в степени ноль», «бесконечность в степени ноль» и «один в степени бесконечность»
  • Раскрытие неопределённостей вида «бесконечность минус бесконечность»

Правило Лопиталя и раскрытие неопределённостей

Производная от функции недалеко падает, а в случае правил Лопиталя она падает точно
туда же, куда падает исходная функция. Это обстоятельство помогает в раскрытии неопределённостей вида
0/0 или ∞/∞ и некоторых других неопределённостей, возникающих при вычислении предела
отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций. Вычисление значительно упрощается с
помощью этого правила (на самом деле двух правил и замечаний к ним):

формула, отображающая правило лопиталя.

Как показывает формула выше, при вычислении предела отношений двух бесконечно малых
или бесконечно больших функций предел отношения двух функций можно заменить пределом отношения их производных и, таким
образом, получить определённный результат.

Перейдём к более точным формулировкам правил Лопиталя.

Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно малых величин. Пусть функции f(x) и g(x)
имеют производные (то есть дифференцируемы) в некоторой окрестности точки a. А в самой точке
a они могут и не иметь производных. При этом в окрестности точки a производная
функции g(x) не равна нулю (g‘(x)≠0) и
пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой
и равны нулю:

.

Тогда предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных:

формула, отображающая правило лопиталя.

Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно больших величин. Пусть функции f(x) и g(x)
имеют производные (то есть дифференцируемы) в некоторой окрестности точки a. А в самой точке
a они могут и не иметь производных. При этом в окрестности точки a производная
функции g(x) не равна нулю (g‘(x)≠0) и
пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой
и равны бесконечности:

.

Тогда предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных:

формула, отображающая правило лопиталя.

Иными словами, для неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ предел отношения двух функций
равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный, то есть равный определённому
числу, или бесконечный, то есть равный бесконечности).

Замечания.

1. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда функции f(x) и g(x)
не определены при x = a.

2. Если при вычисления предела отношения производных функций f(x) и g(x)
снова приходим к неопределённости вида 0/0 или ∞/∞, то правила Лопиталя следует применять многократно (минимум
дважды).

3. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда аргумент функций (икс) стремится не к
конечному числу a, а к бесконечности (x → ∞).

К неопределённостям видов 0/0 и ∞/∞ могут быть сведены и неопределённости других видов.


Раскрытие неопределённостей видов «ноль делить на ноль» и «бесконечность делить на бесконечность»

Пример 1. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=2 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому
производную каждой функции и получаем

вычисление предела функции с применением правила лопиталя для раскрытия неопределённости ноль делить на ноль

В числителе вычисляли производную многочлена, а в знаменателе — производную сложной
логарифмической функции
. Перед последним знаком равенства вычисляли обычный предел, подставляя вместо
икса двойку.

Пример 2. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

.

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=0 приводит к неопределённости вида 0/0.
Поэтому вычисляем производные функций в числителе и знаменателе и получаем:

вычисление предела функции с применением правила лопиталя для раскрытия неопределённости ноль делить на ноль

Пример 3. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

.

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=0 приводит к неопределённости вида 0/0.
Поэтому вычисляем производные функций в числителе и знаменателе и получаем:

Пример 4. Вычислить

.

Решение. Подстановка в заданную функцию значения икса, равного плюс бесконечности,
приводит к неопределённости вида ∞/∞. Поэтому применим правило Лопиталя:

вычисление предела функции с применением правила лопиталя для раскрытия неопределённости бесконечность делить на бесконечность


Замечание. Переходим к примерам, в которых правило Лопиталя приходится применять
дважды, то есть приходить к пределу отношений вторых производных, так как предел отношения первых производных представляет собой неопределённость вида 0/0 или ∞/∞.

Пример 5. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

.

Решение. Находим

вычисление предела функции с применением правила лопиталя для раскрытия неопределённости бесконечность делить на бесконечность

Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида ∞/∞.

Пример 6. Вычислить

.

Решение. Находим

Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида 0/0.

Пример 7. Вычислить

.

Решение. Находим

Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных
сначала дают неопределённость вида — ∞/∞, а затем неопределённость вида 0/0.

Пример 8. Вычислить

.

Решение. Находим

Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных
сначала дают неопределённость вида ∞/∞, а затем неопределённость вида 0/0.

Применить правило Лопиталя самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 9. Вычислить

.

Подсказка. Здесь придётся попыхтеть несколько больше обычного над преобразованием выражений
под знаком предела.

Посмотреть правильное решение и ответ.

Пример 10. Вычислить

.

Подсказка. Здесь правило Лопиталя придётся применять трижды.

Посмотреть правильное решение и ответ.


Раскрытие неопределённостей вида «ноль умножить на бесконечность»

Пример 11. Вычислить

.

Решение. Получаем

(здесь неопределённость вида 0∙∞ мы преобразовали к виду ∞/∞, так как

вычисление предела функции с применением правила лопиталя для раскрытия неопределённости ноль умножить на бесконечность

а затем применили правила Лопиталя).

Пример 12. Вычислить

.

Решение. Получаем

вычисление предела функции с применением правила лопиталя для раскрытия неопределённости ноль умножить на бесконечность

В этом примере использовано тригонометрическое тождество
.


Раскрытие неопределённостей видов «ноль в степени ноль», «бесконечность в степени ноль» и «один в степени бесконечность»

Неопределённости вида , или
обычно приводятся к виду 0/0 или ∞/∞ с помощью
логарифмирования функции вида

Чтобы вычислить предел выражения ,
следует использовать логарифмическое тождество ,
частным случаем которого является
и свойство логарифма .

Используя логарифмическое тождество и свойство непрерывности функции (для перехода
за знак предела), предел следует вычислять следующим образом:

Отдельно следует находить предел выражения в показателе степени и возводить e
в найденную степень.

Пример 13. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

.

Решение. Получаем

вычисление предела функции с применением правила лопиталя для раскрытия неопределённости один в степени бесконечность

Вычисляем предел выражения в показателе степени

.

Итак,

.

Пример 14. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

.

Решение. Получаем

вычисление предела функции с применением правила лопиталя для раскрытия неопределённости ноль в степени ноль

Вычисляем предел выражения в показателе степени

.

Итак,

.

Пример 15. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

.

Решение. Получаем

Вычисляем предел выражения в показателе степени

Итак,

.

Раскрытие неопределённостей вида «бесконечность минус бесконечность»

Это случаи, когда вычисление предела разности функций приводит к неопределённости
«бесконечность минус бесконечность»: .

Вычисление такого предела по правилу Лопиталя в общем виде выглядит следующим образом:

вычисление предела функции с применением правила лопиталя для раскрытия неопределённости бесконечность минус бесконечность

В результате таких преобразований часто получаются сложные выражения, поэтому
целесообразно использовать такие преобразования разности функций, как приведение к общему знаменателю,
умножение и деление на одно и то же число, использование тригонометрических тождеств и т.д.

Пример 16. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

.

Решение. Пользуясь вышеперечисленными рекомендациями, получаем

Пример 17. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

.

Решение. Пользуясь вышеперечисленными рекомендациями, получаем

  • Что такое производная
  • Найти производную: алгоритм и примеры решений
  • Производные произведения и частного функций
  • Производная суммы дробей со степенями и корнями
  • Производные простых тригонометрических функций
  • Производная сложной функции
  • Производная логарифмической функции
  • Дифференциал функции
  • Дифференциал сложной функции, инвариантность формы дифференциала
  • Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
  • Правило Лопиталя
  • Частные производные
Ссылка на основную публикацию