Поверхностные интегралы первого рода. Примеры решений

Наведем готовые ответы к заданиям на вычисление поверхностных интегралов первого рода.
Все примеры дополнены рисунками поверхностей по которых интегрируем, объяснено для чего нужна первая квадратичная форма и когда ее использовать.
Алгоритм вычисления поверхностных интегралов хорошо расписан на разных параметризующих поверхностях, поэтому нескольких примеров Вам будет достаточно, чтобы самостоятельно выполнить контрольную или расчетную работу!
Материал отвечает уровню подготовки студентов первых, вторых курсов вузов.

Пример 1 Вычислить поверхностный интеграл первого рода int[1/(1+x+y), S]

где S — предел тетраэдра x+y+z≤1, x≥0, y≥0, z≥0.
Решение: Прежде чем вычислять интеграл построим схематический вид тетраэдра


Заданный тетраэдр состоит из четырех плоскостей (поверхностей), поэтому заданный поверхностный интеграл будем считать по всем плоскостям отдельно, то есть

Поверхность 1: y=0.
Отсюда, дифференциал площади равен dS1=dxdz.
Дальше расставляем пределы первой грани:
Учитывая, что y=0 уравнение x+y+z=1 упростится к виду x+z=1, отсюда z=1-x верхний предел по z.
Таким образом получим
0≤x≤1 и 0≤z≤1- x.
Осталось подставить y=0 в подынтегральную функцию и найти поверхностный интеграл первого рода
нахождения поверхностного интегралу

Далее аналогичные расчеты по остальных плоскостях.

Поверхность 2: x=0.
Дифференциал поверхности dS2=dydz, пределы 2-й грани:
0≤y≤1, 0≤z≤1-y.
Пределы и подынтегральная функция изменяются с учетом условия x=0.
Вычисляем кратный интеграл

Поверхность 3: z=0.
Отсюда dS3=dxdy, а пределы 3-й грани:
0≤x≤1, 0≤y≤1-x.
Проверьте правильность приведенных пределов поверхностного интеграла.
Напоследок, само интегрирование
вычисления поверхностного интегралу

 

Поверхность №4: x+y+z=1.
На поверхности уравнение равно z=1-x-y, поэтому частичные производные за двумя другими координатами отрицательны
zx‘=-1, zy‘=-1.
Дифференциал вычисляем по формуле

Пределы 4 грани:
0≤x≤1, 0≤y≤1-x.
Вычисляем еще один поверхностный интеграл
поверхностный интеграл
Конечное значение поверхностного интеграла первого рода по граням тетраэдра находим суммируя найденные значения: поверхностный интеграл И роду
Подобным образом можно рассчитывать поверхностный интеграл по граням любого ограниченного плоскостями тела.

 

Пример 2 Вычислить поверхностный интеграл первого рода int[x+y+z, S]

где S — поверхность сферы x2+y2+z2=a2, z ≥0.

Решение: Имеем каноническое уравнение сферы в прямоугольной системе координат.
Интеграл нужно найти для верхнего его полушария (см. рисунок)
сфера
Запишем уравнение заданной сферы в параметрическом виде:

Эти формулы являются универсальными, поэтому их часто будете использовать для сферических тел.
Угол «пси» отвечает за положение точек на сфере при z>0.
Для нахождения коэффициента I квадратичной формы нужны производные параметрической записи координат по обоим углам.
вычисления частичных производных

Вычислим коэффициенты I квадратичной формы по формуле:

Формула первой квадратичной формы

Она служит дополнительным множителем, который возникает в результате параметризации координат.
Поверхностный интеграл первого рода находим за формулой:
поверхностный интеграл 1 рода
Внимательно пересмотрите интегрирование тригонометрических функций. Здесь некоторые промежуточные вычисления пропущены, это все для того, чтобы побуждать Вас побольше работать самостоятельно.
С другой стороны все что видите следует проверять.

 

Пример 3 Вычислить поверхностный интеграл первого рода int[z2, S]


где S — часть поверхности конуса
x=r-cos(φ)sin(alpha)
y=r-sin(φ)sin(alpha)
z=r-cos(alpha)
(0≤r≤a; 0≤φ≤2π)
и — постоянная 0≤alpha≤π/2).
Решение: Здесь первый шаг алгоритма вычислений поверхностного интеграла пропускаем, поскольку в условии уже имеем параметризованое уравнение конуса.
конус
Найдем частичные производные по углу и радиус-вектор 
частичные производные

Далее за производными вычисляем коэффициенты I квадратичной формы
коэффициенты И квадратичной формы

Поверхностный интеграл первого рода вычисляем по формуле
Поверхностный интеграл первого рода
Сначала находим внутренний интеграл за радиусом вектором, а дальше по углу «фи».
В результате получили, что поверхностный интеграл зависит от угла между плоскостью основы и образующей конуса — «альфа».
Больше примеров на поверхностные интегралы первого рода ищите на страницах сайта.
Добавляйте сайт в закладки и делитесь ссылкой на учебные материалы с друзьями!

Ссылка на основную публикацию