Содержание
- 1 Общее уравнение поверхности второго порядка и инварианты поворота и переноса декартовой прямоугольной системы координат
- 2 Виды поверхностей второго порядка и приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому
- 2.1 Эллипсоид
- 2.2 Мнимый эллипсоид
- 2.3 Мнимый конус
- 2.4 Однополостный гиперболоид
- 2.5 Двуполостный гиперболоид
- 2.6 Конус
- 2.7 Эллиптический параболоид
- 2.8 Гиперболический параболоид
- 2.9 Эллиптический цилиндр
- 2.10 Мнимый эллиптический цилиндр
- 2.11 Мнимые пересекающиеся плоскости
- 2.12 Гиперболический цилиндр
- 2.13 Пересекающиеся плоскости
- 2.14 Параболический цилиндр
- 2.15 Параллельные плоскости
- 2.16 Мнимые параллельные плоскости
- 2.17 Совпадающие плоскости
- 3 Решение примеров на определение вида поверхности второго порядка
- Общее уравнение поверхности второго порядка и инварианты поворота и переноса декартовой прямоугольной системы координат
- Виды поверхностей второго порядка и приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому
- Решение примеров на определение вида поверхности второго порядка
Общее уравнение поверхности второго порядка и инварианты поворота и переноса декартовой прямоугольной системы координат
Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид
Ax² + By² + Cz² + 2Fxy + 2Gyz + 2Hzx + 2Px + 2Qy + 2Rz + D = 0,
где A, B, C, …, D — действительные числа.
Для определения вида поверхности второго порядка по общему уравнению и приведения
общего уравнения к каноническому, нам понадобятся выражения, которые называются инвариантами. Инварианты
— это определители и суммы определителей, составленные из коэффициентов общего уравнения, которые не меняются при переносе и
повороте системы координат. Эти инварианты следующие:
Следующие два выражения, называемые семиинвариантами, являются инвариантами поворота
декартовой прямоугольной системы координат:
В случае, если I3 = 0,
K4 = 0, семиинвариант
K3 будет также и инвариантом переноса;
в случае же I3 = 0,
K4 = 0,
I2 = 0,
K3 = 0 семиинвариант
K2 = 0 будет также и инвариантом
переноса.
Виды поверхностей второго порядка и приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому
I. Если I3 ≠ 0,
то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы
координат может быть приведено к следующему виду:
,
где λ1,
λ2,
λ3 — корни характеристического уравнения
.
В зависимости от того, какие знаки у чисел
λ1,
λ2,
λ3 и
K4/I3,
определяется вид поверхности второго порядка.
Эллипсоид
Если числа
λ1
λ2,
λ3 одного знака, а
K4/I3
имеет знак им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллипсоид.
После решения характеристического уравнения общее уравнение можно переписать в следующем виде:
.
Тогда полуоси эллипсоида будут
,
,
.
Поэтому каноническое уравнение эллипсоида имеет вид
.
Мнимый эллипсоид
Если числа
λ1
λ2,
λ3 и
K4/I3
одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллипсоид.
После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к
каноническому уравнению мнимого эллипсоида:
,
где
,
,
.
Мнимый конус
Если числа
λ1
λ2,
λ3, а
K4 = 0,
то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый конус.
После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к
каноническому уравнению мнимого конуса:
,
где
,
,
.
Однополостный гиперболоид
Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, а третий корень
и K4/I3
имеют знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет
однополостный гиперболоид.
Обозначая в этом случае через
λ1 и
λ2
корни характеристического уравнения, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:
.
Поскольку
,
,
,
то каноническое уравнение однополостного гиперболоида
будет иметь вид
.
Двуполостный гиперболоид
Если два корня характеристического уравнения
и K4/I3
имеют один и тот же знак, а третий корень характеристического уравнения им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет
двуполостный гиперболоид.
Обозначая в этом случае через
λ1 и
λ2
корни, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:
или
.
Последняя запись и есть каноническое уравнение двуполостного гиперболоида.
Конус
Если два корня характеристического уравнения
имеют один знак, третий корень имеет знак, им противоположный, а K4 = 0,
то общее уравнение поверхности второго порядка определяет конус.
Считая, что одинаковый знак имеют корни
λ1 и
λ2,
общее уравнение можно переписать в виде:
или
,
известном как каноническое уравнение конуса.
II. Если I3 = 0, а
K4 ≠ 0,
то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы
координат может быть приведено к следующему виду:
,
где λ1 и
λ2 — отличные от нуля корни
характеристического уравнения.
Эллиптический параболоид
Если λ1 и
λ2
имеют один знак, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет
эллиптический параболоид.
Общее уравнение можно переписать в виде:
.
Выбирая перед корнем знак, противоположный знаку λ1 и
λ2, и полагая
,
,
получим каноническое уравнение эллиптического параболоида:
.
Гиперболический параболоид
Если λ1 и
λ2
имеют разные знаки, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет
гиперболический параболоид.
Обозначая через λ1
положительный корень, а через λ2 —
отрицательный и беря перед корнем
знак минус, переписываем уравнение в виде:
.
Полагая
,
,
получим каноническое уравнение гиперболического параболоида:
.
III. Если I3 = 0, а
K4 = 0,
I2 ≠ 0
то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы
координат может быть приведено к следующему виду:
,
где λ1 и
λ2 — отличные от нуля корни
характеристического уравнения.
Эллиптический цилиндр
Если λ1 и
λ2
одного знака, а K3/I2
имеет знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет
эллиптический цилиндр.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
.
Полагая
,
,
получим каноническое уравнение эллиптического цилиндра:
.
Мнимый эллиптический цилиндр
Если λ1,
λ2 и
K3/I2
одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет
мнимый эллиптический цилиндр.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
или
.
Последняя запись — каноническое уравнение мнимого эллиптического цилиндра.
Мнимые пересекающиеся плоскости
Если λ1 и
λ2 имеют один знак,
а K3 = 0,
то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две
мнимые пересекающиеся плоскости.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
.
Полагая
,
,
получим каноническое уравнение мнимых пересекающихся плоскостей:
.
Гиперболический цилиндр
Если λ1 и
λ2 имеют разные знаки,
а K3 ≠ 0,
то общее уравнение поверхности второго порядка определяет
гиперболический цилиндр.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
,
где
,
.
Таким образом, каноническое уравнение гиперболического цилиндра:
.
Пересекающиеся плоскости
Если λ1 и
λ2 имеют разные знаки,
а K3 = 0,
то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две
пересекающиеся плоскости.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
,
где
,
.
Таким образом, пересекающихся плоскостей:
.
IV. Если I3 = 0,
K4 = 0,
I2 = 0,
K3 ≠ 0,
то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы
координат может быть приведено к следующему виду:
,
где λ1 = I1
— отличный от нуля корень характеристического уравнения.
Параболический цилиндр
Уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, можно переписать в виде:
,
где
.
Это уравнение параболического цилиндра, в каноническом виде оно записывается так:
.
V. Если I3 = 0,
K4 = 0,
I2 = 0,
K3 = 0,
то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы
координат может быть приведено к следующему виду:
или
,
или
.
Параллельные плоскости
Если K2 < 0,
то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две
параллельные плоскости.
Полагая
,
перепишем его в виде
.
Мнимые параллельные плоскости
Если K2 > 0,
то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две
мнимые параллельные плоскости.
Полагая
,
перепишем его в виде
.
Совпадающие плоскости
Если K2 = 0,
то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две
совпадающие плоскости:
.
Решение примеров на определение вида поверхности второго порядка
Пример 1. Определить вид и составить каноническое уравнение
поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением
x² + 5y² + z² + 2xy + 6xz + 2yz — 2x + 6y + 2z = 0.
Решение. Найдём I3:
(как вычислить определитель).
I1 = 1 + 5 + 1 = 7,
I1I3 < 0.
Следовательно, данная поверхность — однополостный гиперболоид.
Найдём I2:
.
Составляем и решаем характеристическое уравнение:
;
.
Простейшее уравнение
или
или
,
где
,
,
.
Пример 2. Определить вид и составить каноническое уравнение
поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением
2x² + 2y² + 3z² + 4xy + 2xz + 2yz — 4x + 6y — 2z + 3 = 0.
Решение. Найдём I3:
.
Найдём К4:
.
Следовательно, общее уравнение определяет эллиптический параболоид.
Найдём I2:
.
I1 = 2 + 2 + 3 = 7.
Решаем характеристическое уравнение:
.
Его корни
.
Простейшее уравнение
или
,
где
,
.
Пример 3. Определить вид и составить каноническое уравнение
поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением
5x² + 2y² + 5z² — 4xy — 2xz — 4yz + 10x — 4y — 2z + 4 = 0.
Решение. Найдём I3,
K4,
I2,
K3,
I1:
,
,
,
I1 = 5 + 2 + 5 = 12.
Так как I3 = К4 = 0,
I2 > 0,
I1K3 < 0,
то данное общее уравнение определяет эллиптический цилиндр.
Характеристическое уравнение:
имеет корни
.
Простейшее уравнение:
или
.
Определить вид поверхности второго порядка самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 4. Определить вид и составить каноническое уравнение
поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением
x² + y² + 4z² + 2xy + 4xz + 4yz — 6z + 1 = 0.
Посмотреть правильное решение.
Поделиться с друзьями
- Функция двух и более переменных. Её область определения
- Поверхности второго порядка
- Частные производные
- Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- Производная по направлению, градиент функции
- Экстремумы функции двух переменных
- Условные экстремумы и функция Лагранжа