Поверхности второго порядка: их виды, уравнения, примеры

Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид

Ax² + By² + Cz² + 2Fxy + 2Gyz + 2Hzx + 2Px + 2Qy + 2Rz + D = 0,

где A, B, C, …, D — действительные числа.

Для определения вида поверхности второго порядка по общему уравнению и приведения
общего уравнения к каноническому, нам понадобятся выражения, которые называются инвариантами. Инварианты
— это определители и суммы определителей, составленные из коэффициентов общего уравнения, которые не меняются при переносе и
повороте системы координат. Эти инварианты следующие:

Следующие два выражения, называемые семиинвариантами, являются инвариантами поворота
декартовой прямоугольной системы координат:

В случае, если I3 = 0,
K4 = 0, семиинвариант
K3 будет также и инвариантом переноса;
в случае же I3 = 0,
K4 = 0,
I2 = 0,
K3 = 0 семиинвариант
K2 = 0 будет также и инвариантом
переноса.

I. Если I3 ≠ 0,
то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы
координат может быть приведено к следующему виду:

,

где λ1,
λ2,
λ3 — корни характеристического уравнения

.

В зависимости от того, какие знаки у чисел
λ1,
λ2,
λ3 и
K4/I3,
определяется вид поверхности второго порядка.

Если числа
λ1
λ2,
λ3 одного знака, а
K4/I3
имеет знак им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллипсоид.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно переписать в следующем виде:

.

Тогда полуоси эллипсоида будут

,
,
.

Поэтому каноническое уравнение эллипсоида имеет вид

.

Если числа
λ1
λ2,
λ3 и
K4/I3
одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллипсоид.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к
каноническому уравнению мнимого эллипсоида:

,

где

,
,
.

Если числа
λ1
λ2,
λ3, а
K4 = 0,
то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый конус.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к
каноническому уравнению мнимого конуса:

,

где

,
,
.

Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, а третий корень
и K4/I3
имеют знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет
однополостный гиперболоид.

Обозначая в этом случае через
λ1 и
λ2
корни характеристического уравнения, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:

.

Поскольку

,
,
,

то каноническое уравнение однополостного гиперболоида
будет иметь вид

.

Если два корня характеристического уравнения
и K4/I3
имеют один и тот же знак, а третий корень характеристического уравнения им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет
двуполостный гиперболоид.

Обозначая в этом случае через
λ1 и
λ2
корни, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:

или

.

Последняя запись и есть каноническое уравнение двуполостного гиперболоида.

Если два корня характеристического уравнения
имеют один знак, третий корень имеет знак, им противоположный, а K4 = 0,
то общее уравнение поверхности второго порядка определяет конус.

Считая, что одинаковый знак имеют корни
λ1 и
λ2,
общее уравнение можно переписать в виде:

или

,

известном как каноническое уравнение конуса.

II. Если I3 = 0, а
K4 ≠ 0,
то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы
координат может быть приведено к следующему виду:

,

где λ1 и
λ2 — отличные от нуля корни
характеристического уравнения.

Если λ1 и
λ2
имеют один знак, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет
эллиптический параболоид.

Общее уравнение можно переписать в виде:

.

Выбирая перед корнем знак, противоположный знаку λ1 и
λ2, и полагая

,

,

получим каноническое уравнение эллиптического параболоида:

.

Если λ1 и
λ2
имеют разные знаки, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет
гиперболический параболоид.

Обозначая через λ1
положительный корень, а через λ2 —
отрицательный и беря перед корнем
знак минус, переписываем уравнение в виде:

.

Полагая

,
,

получим каноническое уравнение гиперболического параболоида:

.

III. Если I3 = 0, а
K4 = 0,
I2 ≠ 0
то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы
координат может быть приведено к следующему виду:

,

где λ1 и
λ2 — отличные от нуля корни
характеристического уравнения.

Если λ1 и
λ2
одного знака, а K3/I2
имеет знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет
эллиптический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

.

Полагая

,
,

получим каноническое уравнение эллиптического цилиндра:

.

Если λ1,
λ2 и
K3/I2
одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет
мнимый эллиптический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

или

.

Последняя запись — каноническое уравнение мнимого эллиптического цилиндра.

Если λ1 и
λ2 имеют один знак,
а K3 = 0,
то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две
мнимые пересекающиеся плоскости.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

.

Полагая

,
,

получим каноническое уравнение мнимых пересекающихся плоскостей:

.

Если λ1 и
λ2 имеют разные знаки,
а K3 ≠ 0,
то общее уравнение поверхности второго порядка определяет
гиперболический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

,

где

,
.

Таким образом, каноническое уравнение гиперболического цилиндра:

.

Если λ1 и
λ2 имеют разные знаки,
а K3 = 0,
то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две
пересекающиеся плоскости.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

,

где

,
.

Таким образом, пересекающихся плоскостей:

.

IV. Если I3 = 0,
K4 = 0,
I2 = 0,
K3 ≠ 0,
то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы
координат может быть приведено к следующему виду:

,

где λ1 = I1
— отличный от нуля корень характеристического уравнения.

Уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, можно переписать в виде:

,

где

.

Это уравнение параболического цилиндра, в каноническом виде оно записывается так:

.

V. Если I3 = 0,
K4 = 0,
I2 = 0,
K3 = 0,
то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы
координат может быть приведено к следующему виду:

или

,

или

.

Если K2 < 0,
то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две
параллельные плоскости.

Полагая

,

перепишем его в виде

.

Если K2 > 0,
то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две
мнимые параллельные плоскости.

Полагая

,

перепишем его в виде

.

Если K2 = 0,
то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две
совпадающие плоскости:

.

Пример 1. Определить вид и составить каноническое уравнение
поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением

x² + 5y² + z² + 2xy + 6xz + 2yz — 2x + 6y + 2z = 0.

Решение. Найдём I3:

(как вычислить определитель).

I1 = 1 + 5 + 1 = 7,

I1I3 < 0.

Следовательно, данная поверхность — однополостный гиперболоид.

Найдём I2:

.

Составляем и решаем характеристическое уравнение:

;

.

Простейшее уравнение

или

или

,

где

,
,
.

Пример 2. Определить вид и составить каноническое уравнение
поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением

2x² + 2y² + 3z² + 4xy + 2xz + 2yz — 4x + 6y — 2z + 3 = 0.

Решение. Найдём I3:

.

Найдём К4:

.

Следовательно, общее уравнение определяет эллиптический параболоид.

Найдём I2:

.

I1 = 2 + 2 + 3 = 7.

Решаем характеристическое уравнение:

.

Его корни

.

Простейшее уравнение

или

,

где

,
.

Пример 3. Определить вид и составить каноническое уравнение
поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением

5x² + 2y² + 5z² — 4xy — 2xz — 4yz + 10x — 4y — 2z + 4 = 0.

Решение. Найдём I3,
K4,
I2,
K3,
I1:

,

,

,

I1 = 5 + 2 + 5 = 12.

Так как I3 = К4 = 0,
I2 > 0,
I1K3 < 0,
то данное общее уравнение определяет эллиптический цилиндр.

Характеристическое уравнение:

имеет корни

.

Простейшее уравнение:

или

.

Пример 4. Определить вид и составить каноническое уравнение
поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением

x² + y² + 4z² + 2xy + 4xz + 4yz — 6z + 1 = 0.

Посмотреть правильное решение.