Показательная функция — это функция y = ax, где a > 0 и a ≠ 1.
Это одна из интереснейших функций в математике, и рассказ о ней мы начнём с древней индийской легенды.
Однажды царь узнал, что в его стране один мудрец изобрел замечательную игру — шахматы. Царь приказал доставить мудреца к себе во дворец, сыграл с ним несколько партий, и шахматы очень понравились ему. В восторге царь сказал мудрецу: «Выбирай себе любую награду. Всё получишь, чего ни пожелаешь!»
А мудрец ответил: «Пусть на первую клетку шахматной доски положат одно пшеничное зерно. На вторую — два, на третью — четыре, и на каждую следующую в два раза больше, чем на предыдущую. Всё это зерно и будет моей наградой».
Царь рассмеялся, решив, что мудрец, должно быть, спятил, раз просит о такой ничтожной вещи, как кучка зерна, но приказал слугам всё исполнить. И на первую клетку шахматной доски положили одно зерно (20 = 1), на вторую два (21 = 2), на третью 22 = 4. На десятой клетке уже не помещались 29 = 512 зёрен…
Несколько дней царский казначей вычислял требуемое количество зёрен. Оказалось, что выполнить просьбу мудреца невозможно — даже если все поля нашей планеты засеять пшеницей!
Зависимость, о которой говорится в легенде, описывается функцией y = 2x. Построим её график. Для этого посчитаем значения функции при целых x, нанесём точки на координатную плоскость и соединим их плавной линией.
| x | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| y |  |
 |
 |
 |
1 | 2 | 4 | 8 | 16 |
Мы видим, что эта функция является возрастающей, и растёт она очень быстро. Более того — чем больше значение x, тем больше в этой точке крутизна графика. То есть растёт не только функция, но и её производная.
Теперь построим график функции 
| x | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| y | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |  |
 |
 |
 |
Эта функция — убывающая. Её график зеркально симметричен графику функции y = 2x относительно оси Y.
Заметим, что при построении этих графиков мы сделали одно допущение.
Мы уже знаем, что такое степень с рациональным показателем — об этом рассказывается в статье «Степени и корни». Но понятия степени с иррациональным показателем мы не вводили (например, 
— что это такое?). Интуитивно мы чувствуем, что функция y = 2x определена для всех действительных x и её график должен быть непрерывной линией, однако доказательство этого выходит за рамки школьного курса.
Тем не менее, свойства показательной функции y = ax активно используются при решении задач. Перечислим наиболее важные из них.
1. Область определения функции — все действительные числа: D(y) = R.
2. Область значений функции: E(y) = (0; )
3. Поскольку a0 = 1, график проходит через точку (0, 1).
4. При a > 1 функция возрастает. При 0 < a < 1 функция убывает
Загрузка...
