Переход от поверхностного интеграла ІІ рода к тройному. Формула Остроградского-Гаусса

Формула Остроградського-Гауса применяют для преобразования объемного (тройного) интеграла к интегралу по замкнутой поверхности (двойного), превращения объемного (тройного) интеграла к интегралу по замкнутой поверхности (двойного), и наоборот:

Другое приложение формулы это вычисления потока векторного поля через замкнутую поверхность с помощью интеграла от дивергенции этого поля по объему, что ограничен этой поверхностью.
Дальше будут приведены примеры перехода от двойного к тройному интегралу, расстановки пределов и вычисления объемных интегралов.

 

Пример 1 Используя формулу Остроградського-Гауса, превратить поверхностный интеграл

если гладкая поверхность S ограничивает конечный объем V и — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S.

Решение: Поверхностный интеграл 2-го рода сводится к тройному интегралу с помощью формулы Остроградського-Гауса:

где P, Q, R выписываем из заданного интеграла 
— частичные производные функции.
Далее повторно вычисляем производные, чтобы получить направляющие косинусы в направлении каждой из осей
вычисления частичных производных

Можем перейти от двойного интеграла к тройному
переход от двойного к тройному интегралу
здесь обозначили Δu — дельта оператор Лапласа

На этом все объяснения к первому примеру.

 

Пример 2 Используя формулу Гауса-Остроградського, превратить поверхностный интеграл

по гладкой поверхности S ограничивающей конечный объем V и — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S.

Решение: Поверхностный интеграл второго рода сведем к трехмерному интегралу, используя формулы Гауса-Остроградського:


где P=P(x, y, z)=x3, P=P(x, y, z)=y3, P=P(x, y, z)=z3 берем из условия.
Вычисляем вторые производные по «икс, игрек, зет»

Записываем формулу перехода от двойного интеграла к тройному  
тройной интеграл
На этом примере Вы видите, что сам переход между кратными и тройными интегралами найти не трудно.
Значительное количество ждет при необходимости расставить пределы интегрирования и найти тройной интеграл.

 

Пример 3 Используя формулу Гауса-Остроградського, превратить поверхностный интеграл

если гладкая поверхность S ограничивает конечный объем V и — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S.

Решение: Поверхностный интеграл второго рода сведем к тройному интегралу, используя формулу Гауса-Остроградського : формулу Гауса-Остроградського

где P=P(x, y, z)=yz, Q=Q(x, y, z)=xz, R=R(x, y, z)=xy.
Частичные производные второго порядка от P, Q, R

Поэтому тройной интеграл равен нулю
интеграл

Пример 4 Используя формулу Гауса-Остроградського, вычислить поверхностный интеграл int[x3dydz+y3dzdx+z3dxdy, S]

где S— внешняя сторона сферы x2+y2+z2=a2.

Решение: Поверхностный интеграл ІІ рода сводим к трехкратному интегралу, используя формулу Гауса-Остроградського:

Выписываем P=P(x, y, z)=x3, Q=Q(x, y, z)=y3, R=R(x, y, z)=z3.
Тогда частичные производные от P, Q, R равны

Область S ограничивает сфера V уравнением:
x2+y2+z2=a2.
В декартовой системе координат вычислять тройной интеграл когда объем ограничен сферой нецелесообразно, поскольку будем иметь корневые функции в пределах интеграла.
Поэтому всюду перейдем к сферической системе координат:

Находим частичные производные первого порядка по углам от параметризующих координат

Дополнительно необходимо найти якобиан перехода:
якобиан

Он служит дополнительным множителем в интеграле.
Вычислим подынтегральное выражение в новых координатах:

Дальше используя формулу Остроградського-Гауса находим поверхностный интеграл второго рода:
интегрирования, формула Гауса-Остроградського
Внимательно пересмотрите как раскрывали внутренние интегралы в тройном.

 

Пример 5 Используя формулу Гаусса-Остроградського, превратить поверхностный интеграл

по гладкой поверхности S ограничивающей конечный объем V и — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S.

Решение: Имеем поверхностный интеграл ІІ рода

Сведем к объемному интегралу, используя формулу Гауса-Остроградського: 

формулу Остроградського-гаусса

В соответствии с условием функции P, Q, R принимают значение

Вычисляем частичные производные второго порядка за переменными x, y, z
частичные производные

Подставляем и сводим интегрирование по площади на интегрирование по объему

тройной интеграл

На сайте размещены сотни развязанных примеров из интегрирования, которые охватывают весь курс из интегралов.
Все что нужно для учебы Вы можете пересмотреть в категории интегрирования!

Ссылка на основную публикацию