Несвойственные интегралы 1-го и 2-го рода

Несвойственный интеграл I рода

Если функция f(x) интегрирована за Риманом на каждом конечном промежутке [a;b], тогда несвойственный интеграл находят через предельный переход за формулой

и говорят, что несвойственный интеграл совпадающий, если существует такая конечная граница.
В противном случае (если граница бесконечна или не существует) говорят, что интеграл разбегается.

Несвойственный интеграл ІІ рода

Если функция f(x) неограничена в околе точки B и интегрирована за Риманом на каждом конечном промежутке , тогда несвойственный интеграл ІІ рода вычисляют по формуле

и говорят, что интеграл совпадающий, если существует его конечная граница. В противном случае (если граница бесконечна или не существует) говорят, что интеграл разбегается. Точка B называется особенной.

І. Вычислить интегралы

Начнем рассмотрение готовых ответов к несвойственным интегралам от простых к сложным заданиям.

Пример 2.147 (2334) Найти несвойственный интеграл
Имеем несвойственный интеграл І роду. Изменяем бесконечность на фиксированную точку из промежутка, вычисляем интеграл и после подстановки пределов интегрирования находим границу при следовании верхнего предела к бесконечности
несвойственный интеграл И роду

 

Пример 2.148 ( 2335) Найти интеграл
Подинтегральная функция (логарифм) неопределенна в нуле, который отвечает нижней границе интегрирования. В соответствии с вышеприведенными формулами, имеем несвойственный интеграл второго рода. Для его нахождения переходим к границе в нуле, также выполняем интегрирование частями
несвойственный интеграл И роду
Сам по себе интеграл не сложен в плане вычислений.
Замечание: в дальнейшем границу писать НЕ будем, а при вычисление несвойственных интегралов понимаем, что ищем значения границы в особенных точках (или в плюс минус бесконечности ) !!!

 

Пример 2.149 (2336) Вычислить интеграл
Разбиваем интеграл на 2 и находим несвойственные интегралы І рода
несвойственный интеграл І роду

 

Пример 2.150 (2337 ) Найти интеграл
Выполняем манипуляции идентичные, как и в предыдущем задании и приходим к несвойственным интегралам второго рода
несвойственный интеграл 2 рода

 

Пример 2.151 ( 2338) Найти интеграл
Верхняя граница направляется к бесконечности, следовательно имеем несвойственный интеграл первого рода. Для нахождения предельного значения находим неопределенный интеграл и при подстановке пределов выносим переменную за скобки в числителе и знаменателе логарифма. В результате вклад бесконечно малых величин (1/x) направляется к нулю при переменной направляющейся к бесконечности. Таким образом находим главное значение интеграла
несвойственный интеграл И роду

 

Пример 2.152 (2339) Найти интеграл

Решение: Вычислим последний интеграл методом Остроградського — метод не из простых, однако эффективный в подобных примерах:

возьмем производную от каждой части равенства (производная от интеграла равная подинтегральной функции)

Возведем дроби в правой части равенства к общему знаменателю и приравняем коэффициенты при соответствующих степенях x каждой части равенства

В результате получим систему из 4 линейных уравнений из которой находим 4 константы

Таким образом можем записать неопределенный интеграл в виде

Дальше подставляем пределы и находим границе дроби и арктангенса при переменной направляющейся к плюс минус бесконечности.

В конечной формуле можно еще избавиться от иррациональности в знаменателе, но это уже проделайте самостоятельно.

 

Пример 2.153 ( 2340)Найти интеграл

Вычислим последний интеграл методом неопределенных коэффициентов:

Записываем подинтегральные функции и, возведя их под общий знаменатель, 
метод неопределенных коэффициентов
а дальше приравняем коэффициенты при соответствующих степенях x каждой части равенства.
В результате решим систему трех уравнений и определим сталые
система уравнений

Подставим их в расписание и найдем неопределенный интеграл
неопределенный интеграл
после возведения под табличные формулы интегрирования получим логарифмы, которые группируем и арктангенс. 

В бесконечности выносим из числителя и знаменателя дроби под логарифмом слагаемое с самым старшим показателем переменной и сокращаем на него. Тогда получим логарифм единицы.
В нуле с точностью до наоборот, сталые оставляем — остальные слагаемые с переменными не дают вклада.
С арктангенсом ситуация более определена и его значение на пределе подставляем в формулу

 

Пример 2.154 ( 2341)Вычислить интеграл
Покажем, как можно найти интеграл такого вида двумя способами.

І способ: расписание методом неопределенных коэффициентов:
метод неопределенных коэффициентов

Чему равен арктангенс в нуле, единице и бесконечности Вы должны знать на память при решении подобных заданий.
Здесь применили метод неопределенных коэффициентов (A=C=0; B=D=1/2) :

ІІ способ — через замену переменных:
замена переменных под интегралом
Пределы интегрирования при замене переменных здесь стали другими (в нуле минус бесконечность).

 

Пример 2.155 (2342) Найти интеграл
Особенной точкой здесь является нуль, поскольку корень в знаменателе становится равным нулю, а подинтегральная функция направляется к бесконечности. Но это происходит на таком малом участке интегрирования, что вклад мизерен и в целом интеграл совпадающий.
Для его вычисления переходим под интегралом к новым переменным, находим новые пределы интегрирования и находим арктангенсы на краях
замена переменных, несвойственный интеграл
Вычисления не сложны, поскольку свели интегрирование под простой табличный интеграл.

 

Пример 2.156 (2343) Найти интеграл
В бесконечности подинтегральная функция направляется к нулю, поэтому делаем вывод, что имеем несвойственный интеграл І рода. Для его нахождения кое-как превращаем функцию и выполняем замену переменных
замена переменных под интегралом, несвойственный интеграл
В результате сводим интеграл к логарифму, который упрощаем используя свойства логарифмов.

 

Пример 2.157 ( 2344) Найти интеграл
Имеем несвойственный интеграл І рода. Выполняем интегрирование частями
интегрирования частями, несвойственный интеграл
Второе слагаемое раскладываем методом неопределенных коэффициентов

В результате приходим к случаю когда имеем несвойственный интеграл І и ІІ рода одновременно, поэтому предел будет иметь вид

Здесь учтены следующие предельные переходы

Интеграл равен нулю.

 

Пример 2.158 (2345) Вычислить интеграл
В бесконечности подинтеграьная функция направляется к нулю — имеем І несвойственный интеграл.
Обозначив арктансенс через новую переменную определяем пределы интегрирования, дальше упрощаем функцию и интегрированием частями находим значение в крайних точках.
замена переменных под интегралом

 

Пример 2.159 (2346) Найти интеграл
Неопределенный интеграл І рода решаем дважды применив интегрирование частями
интеграл, рекуррентная формула
В результате приходим к записи интеграла через самого себя, то есть рекуррентной формуле 

Перегруппировываем известные и неизвестные по разные стороны знака равенства

и выражаем

отсюда искомый интеграл

Метод не новый, и когда Вы имеете произведение экспоненты на синусы и косинусы без него не обойтись.

 

Пример 2.160 ( 2347) Найти интеграл
На бесконечности подынтегральное выражение дает бесконечно малую осциллирующую около нуля функцию.
Чтобы обойти такую неопределенность используем методику предыдущего примера. Дважды применив интегрирование частями
интеграл, рекуррентная формула
приходим к рекуррентной формуле

Из нее найти интеграл достаточно просто:
интегралы переносим в одну сторону, сталые в другую.

А дальше выполняем деления одной постоянной справа на множитель при интеграле

Отсюда и имеем искомый интеграл

Запомните методику последних двух заданий, на модулях и экзаменах на этом поплатилась значительная часть студентов.
Не будьте в их числе!

 

Пример 2.161 Найти интеграл
Имеем несвойственный интеграл І рода. Находим его и делаем вывод
несвойственный интеграл И роду
что интеграл разбегается, поскольку преде не является конечным.

 

Пример 2.162 Найти интеграл
Экспоненту интегрировать не трудно, при отрицательном показателе она в бесконечности направляется к нулю
несвойственный интеграл И роду

 

Пример 2.163 Вычислить интеграл
Интеграл по виду не сложный, однако при подстановке пределов многие из Вас пишут логарифм минус логарифм = бесконечность минус бесконечность, а дальше что границы не существует, а интеграл расходится.
А он совпадающий причем к нулю
несвойственный интеграл И роду
В этом также легко убедиться проанализировав подинтегральную функцию, ее знаменатель положительный для положительных и отрицательных значений переменной, числитель непарная функция, следовательно интеграл справа от оси абсцисс нивелирует интеграл слева.

 

Пример 2.164 Найти интеграл
В знаменателе дроби выделяем полный квадрат и сводим интеграл под формулу арктангенса.
несвойственный интеграл И роду
При следовании переменной к бесконечности арктангенс направляется к Pi/2, при минус бесконечности к — Pi/2.
В сумме получаем Int=Pi.

 

Пример 2.165 Найти интеграл

Имеем интеграл І рода. Покажем, что он расходится. Знаменатель на рассматриваемом промежутке удовлетворяет условие ln(x)<x-1, поэтому имеем следующее неравенство между функциями
,
Однако второй интеграл расходится
сравнения интегралов
Поскольку функция принимает большие значения , то заданный интеграл также расходится!

 

Пример 2.166 Найти интеграл
Имеем несвойственный интеграл І рода. Его находим расписанием подинтегральной функции через простые множители, как это реализовать расписано дальше
несвойственный интеграл И роду
Данный интеграл нашли методом неопределенных коэффициентов:

записываем функцию в виде расписания простых дробей

Дальше их возводим к общему знаменателю


приравняем коэффициенты при соответствующих степенях x в обеих частях равенства и находим сталіе A=1, B=-1; C=1 .
Их и подставляем в интеграл

 

Пример 2.167 Найти интеграл
Чтобы не раскладывать на простые дроби через неопределенные коэффициенты прибавим и отнимем в числителе единицу. Это позволит получить в числителе такой же множитель как и знаменатель и разложить дробь на два интегралы.
Дальнейшее их вычисление и определение пределов приведено в формуле
несвойственный интеграл И роду .

 

Пример 2.168 Найти интеграл
При переменной направляющейся к бесконечности функция, которая интегрируется направляется к нулю. Имеем несвойственный интеграл первого рода. Чтобы найти его значение выносим переменную из под корня знаменателя, переходим к новой переменной интегрирование (при этом изменяются пределы). В результате получим арксинус, который и вычисляем
замена переменных, несвойственный интеграл.

 

Пример 2.169 Найти интеграл
Здесь необходимо, чтобы параметр превращался в нуль. Для других его значений несвойственный интеграл первого рода находим методом замены переменных. В результате приходим к логарифму, который расписываем к самому простому виду

 

Пример 2.170 Найти интеграл
Здесь в нуле надо найти предел, для этого вычисляем несвойственный интеграл, и подставляем пределы интегрирования.

Интеграл равен 0,5.

 

Пример 2.171 Найти интеграл
В нуле имеем особенность, которую при интегрировании необходимо обойти. Сначала превращаем функцию, чтобы перейти к новой переменной. Дальше применяем интегрирование частями, если множителем имеем экспоненту то это быстро приводит к конечному результату или рекуррентной формуле. Дальше подставляем пределы и анализируем, какие слагаемые сбегаются и к какой границе (значении).

 

Пример 2.172 Найти интеграл
В бесконечности синус осциллирует, если умножить на переменную то получим осциллирующую функцию с растущей амплитудой. Выполняем интегрирование частями и переходим к границе.

Поскольку последней границы не существует, то интеграл расходится.

 

Пример 2.173 Вычислить интеграл
Поскольку мы знаем к чему сводить подобные интегралы, то выполняем превращение функции в начале. Вы же можете обозначить корень из аргумента за новую переменную и в результате превращений прийти к тому же конечного интегралу. Самостоятельно проинтегрирував  частями, Вы получите, что интеграл равен единице

 

Пример 2.174 Найти интеграл

В подобных примерах нужно дважды применять интегрирование частями.
интеграл, рекуррентная формула
В результате придем к рекуррентной формуле

откуда и определяем интеграл

Данный интеграл — это классика интегрирования, если бы экспонента и синус имели множители при аргументах, то вычисления были не такие простые как в рассмотреном примере.

 

Пример 2.175 Найти интеграл
Здесь с первого взгляда может показаться, что интеграл не принадлежит к несвойственным. Однако, разложив знаменатель на одночлены, видим, что во внутренней точке имеет особенность, а именно разрыв второго рода.
При нахождении несвойственного интегралу второго рода при переходе к границам два логарифма упрощаем, по правилу разница логарифмов равна логарифму части. Таким образом лишь одно из слагаемых дает вклад
несвойственный интеграл ІІ рода
На графике функции эта особенность имеет вид

Пример 2.176 Найти интеграл
В единице корень в знаменателе превращается в нуль и функция там имеет вертикальную асимптоту. Чтобы ее обойти прибавим и отнимем в числителе единицы и распишем интеграл на два. Их вычисление уже не содержит никаких особенностей
несвойственный интеграл 2 рода
График функции, не доходя до 1 справа имеет вид

Пример 2.177 Найти интеграл
Неопределенность в заданный интеграл вносит то что логарифм вблизи нуля направляется к минус бесконечности. Интегрируя частями, придем к особенности в нуле, Вы ее можете свести к следствию второй важной границы, мы же записываем конечное значение.
интегрирования частями
Для наглядности графики подинтегральной функции на указанном промежутке имеет вид

Как можно убедиться здесь все гладко и красиво.

 

Пример 2.178 Найти интеграл
При приближении к нулю за счет квадрата знаменателя функция растет к бесконечности. Но и при этом промежуток на котором это происходит направляется к нулю. Поэтому несвойственный интеграл существует и с помощью приведенной замены переменных находится без проблем
несвойственный интеграл ІІ рода

Найденный интеграл не что другое как площадь фигуры между функцией и осью ординат. За исключением особенности в нуле графики функции имеет вид верхней линии, а значение интеграла — заштрихованной на рисунке поверхности.

Пример 2.179 Найти интеграл
В единице логарифм направляется к минус бесконечности, чтобы учесть это выполняем замену переменных под интегралом
несвойственный интеграл 2 рода
В результате предел равен бесконечности, поэтому заданный интеграл разбегается.
График подинтегральной функции в околі особенной точки имеет вид

Пример 2.180 Найти интеграл
При приближении к единице логарифм направляется к нулю, а функция к плюс бесконечности.
Чтобы вычислить несвойственный интеграл ІІ рода выполняем замену переменных и переходим к корневой функции в знаменателе, которая после интегрирования не имеет особенности
несвойственный интеграл ІІ рода
Значение интеграла равно площади заштрихованной фигуры.

Пример 2.181 Найти интеграл
Здесь свой вклад вносит точка x=0, поскольку в ней функция из двух сторон направляется к плюс бесконечности.
Разделим числитель на знаменатель и перепишем функцию в виде показателей переменной.
Дальше разделяем интеграл на два и находим значение в пределе.
несвойственный интеграл
Получили совпадающий интеграл. Вид функции приведен на рисунку

Пример 2.182 Найти интеграл
Здесь идентичная ситуация, в нуле имеем особенность. По схеме предыдущего задания находим два неопределенных интеграла
несвойственный интеграл 2 рода

 

Пример 2.183 Найти интеграл
Здесь в нуле имеем особенность, но поскольку знаменатель в нуле непарный то график общей функции имеет в нуле разрыв второго рода. Такие функции интегрируемые и по схеме выше находим предел в нуле.
несвойственный интеграл
Около нуля график функции имеет вид

Пример 2.184 (2348) Найти интеграл

Вычислим нулевое приближение с устранимой особенностью в бесконечностинесвойственный интеграл

Дальше интегрированием частями находим значение для номера n

Получили рекуррентную формулу: In=n*In — 1, отсюда интеграл равен

На этом ознакомление с основными приемами нахождения несвойственных интегралов подходит к концу.
Больше готовых ответов на интегрирование функций ищите на страницах сайта.
Если нужна помощь, также обращайтесь!

Ссылка на основную публикацию