Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке

  • Как найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке
  • Ищем наименьшее и наибольшее значения функции вместе
  • Найти наименьшее и наибольшее значения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
  • Продолжаем искать наименьшее и наибольшее значения функции вместе

Как найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке

На рисунках ниже показано, где функция может достигать наименьшего и наибольшего значения.
На левом рисунке наименьшее и наибольшее значения зафиксированы в точках локального минимума и максимума
функции. На правом рисунке — на концах отрезка.

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [ab],
то она достигает на этом отрезке наименьшего и наибольшего значений. Это, как
уже говорилось, может произойти либо в точках экстремума, либо на концах отрезка. Поэтому для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции,
непрерывной на отрезке [ab], нужно
вычислить её значения во всех критических точках и на концах отрезка, а затем выбрать из них наименьшее
и наибольшее.

Пусть, например, требуется определить наибольшее значение функции
f(x) на отрезке [ab].
Для этого следует найти все её критические точки, лежащие на [ab].

Критической точкой называется точка, в которой
функция определена, а её
производная либо равна нулю, либо не существует. Затем следует вычислить значения функции в критических
точках. И, наконец, следует сравнить между собой по величине значения функции в критических точках и
на концах отрезка (f(a) и f(b)).
Наибольшее из этих чисел и будет наибольшим значением функции на отрезке [ab].

Аналогично решаются и задачи на нахождение наименьших значений
функции
.

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Ищем наименьшее и наибольшее значения функции вместе

Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 2].

Решение. Находим производную данной функции .
Приравняем производную нулю ()
и получим две критические точки: и
. Для нахождения
наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке достаточно вычислить её значения на
концах отрезка и в точке ,
так как точка не
принадлежит отрезку [-1, 2]. Эти значения функции — следующие: ,
,
. Из этого следует, что
наименьшее значение функции (на графике ниже обозначено красным), равное -7, достигается на правом конце отрезка — в точке
, а наибольшее (тоже
красное на графике), равно 9,
— в критической точке .

Если функция непрерывна в некотором промежутке и этот промежуток не является отрезком
(а является, например, интервалом; разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок),
то среди значений функции может и не быть наименьшего и наибольшего. Так, например, функция, изображённая
на рисунке ниже, непрерывна на ]-∞, +∞[ и не имеет
наибольшего значения.

Однако для любого промежутка (закрытого, открытого или бесконечного) справедливо
следующее свойство непрерывных функций.

Если функция непрерывна в промежутке и имеет единственный экстремум, то он
является наименьшим значением в случае минимума и наибольшим — в случае максимума.

Как наименьшее значение функции, так и её наибольшее значение, могут быть найдены
не только в одной точке, принадлежащей заданного интервала, а, как, например, далее — в двух.

Пример 2. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-3, 3].

Решение. Находим производную данной функции .
Привыкаем к однообразным действиям: приравниваем производную нулю ()
и решение этого уравнения даёт нам три критические точки: ,
и
. Все критические точки
принадлежат отрезку [-3, 3]. Для нахождения
наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на
концах отрезка и во всех критических точках. Эти значения следующие:

Видим, что функция достигает наименьшего значения, равного -13, в двух точках
и
и наибольшего
значения
, равного 12, также в двух точках
и
(то есть на концах отрезка).

Нередки случаи, когда уравнение, полученное от приравнивания производной функции нулю,
не имеет действительных решений. Тогда наименьшее и наибольшее значения функции можно найти только
на концах отрезка. Таков следующий пример.

Пример 3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [0, 4].

Решение. Находим производную данной функции .
Приравниваем производную нулю: .
Видим, что это уравнение не имеет действительных корней. Поэтому наименьшее и наибольшее значения
функции можем найти только на концах данного отрезка. Находим значения функции на
концах отрезка:

Обе точки, следуя условию, годятся, так что функция достигает наименьшего значения, равного 0, в точке
и наибольшего
значения
, равного 6, в точке
.

Неплохо было бы взять и случаи, когда производная функции вычисляется не одним махом,
как в предыдущих примерах. Это мы сейчас и сделаем, решив пример, где требуется найти
производную частного.

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 3].

Решение. Находим производную данной функции как производную частного:

.

Приравниваем производную нулю,
что даёт нам одну критическую точку: .
Она принадлежит отрезку [-1, 3]. Для нахождения
наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на
концах отрезка и в найденной критической точке:

Сравниваем эти значения. Вывод: функция достигает наименьшего значения, равного -5/13,
в точке и наибольшего
значения
, равного 1, в точке
.

Найти наименьшее и наибольшее значения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

Правильное решение и ответ.

Пример 6. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке .

Правильное решение и ответ.

Пример 7. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке .

Правильное решение и ответ.

Продолжаем искать наименьшее и наибольшее значения функции вместе

Есть преподаватели, которые по теме нахождения наименьшего и наибольшего значений функции
не дают студентам для решения примеры сложнее только что рассмотренных, то есть таких, в которых функция —
многочлен либо дробь, числитель и знаменатель которой — многочлены. Но мы не ограничимся такими примерами,
поскольку среди преподавателей бывают любители заставить студентов думать по полной (таблице производных).
Поэтому в ход пойдут логарифм и тригонометрическая функция.

Пример 8. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [1, e].

Решение. Находим производную данной функции как производную произведения:

Приравниваем производную нулю, что даёт
одну критическую точку: .
Она принадлежит отрезку [1, e]. Для нахождения
наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на
концах отрезка и в найденной критической точке:

Результат всех действий: функция достигает наименьшего значения, равного 0,
в точке и в точке
и наибольшего
значения
, равного e², в точке
.

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Пример 9. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

Решение. Находим производную данной функции:

Приравниваем производную нулю:

Единственная критическая точку
принадлежит отрезку . Для нахождения
наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на
концах отрезка и в найденной критической точке:

Вывод: функция достигает наименьшего значения, равного ,
в точке и наибольшего
значения
, равного , в точке
.

В прикладных экстремальных задачах нахождение наименьшего (наибольшего) значений
функции, как правило, сводится к нахождению минимума (максимума). Но больший практический интерес имеют
не сами минимумы или максимумы, а те значения аргумента, при которых они достигаются. При решении
прикладных задач возникает дополнительная трудность — составление функций, описывающих рассматриваемое
явление или процесс.

Пример 10. Резервуар ёмкостью 4 ,
имеющий форму параллелепипеда с квадратным основанием и открытый сверху, нужно вылудить оловом. Каковы
должны быть размеры резервуара, чтобы на его покрытие ушло наименьшее количество материала?

Решение. Пусть x — сторона основания, h — высота резервуара,
S — площадь его поверхности без крышки, V — его объём. Площадь поверхности резервуара
выражается формулой ,
т.е. является функцией двух переменных .
Чтобы выразить S как функцию одной переменной, воспользуемся тем, что ,
откуда . Подставив
найденное выражение h в формулу для S:

или

.

Исследуем эту функцию на экстремум. Она определена и дифференцируема всюду в
]0, +∞[, причём

.

Приравниваем производную нулю ()
и находим критическую точку . Кроме того,
при производная не
существует, но это значение не входит в область определения и поэтому не может быть точкой экстремума.
Итак, — единственная
критическая точка. Проверим её на наличие экстремума, используя второй достаточный признак. Найдём
вторую производную .
При вторая производная
больше нуля (). Значит, при
функция достигает
минимума . Поскольку
этот минимум — единственный экстремум данной функции, он и является её наименьшим значением. Итак,
сторона основания резервуара должна быть равна 2 м, а его высота .

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Пример 11. Из пункта A, находящегося на линии железной
дороги, в пункт С, отстоящий от неё на расстоянии l, должны переправляться грузы.
Стоимость провоза весовой единицы на единицу расстояния по железной дороге равна ,
а по шоссе она равна . К
какой точке М линии железной дороги следует провести шоссе, чтобы транспортировка груза из
А в С была наиболее экономичной (участок АВ железной дороги предполагается
прямолинейным)?

Пусть ,
,
(см. рисунок ниже).

Тогда ,
,
. Стоимость провоза
p единиц груза по шоссе СМ составит ,
а по железной дороге МА она составит .
Общая стоимость провоза груза по пути СМА выражается функцией

,

где .

Нужно найти наименьшее значение этой функции. Она дифференцируема при всех значениях
x, причём

.

Приравняв производную нулю, получим иррациональное уравнение ,
решение которого даёт единственную критическую точку
(так как точка не
входит в область определения функции).

Взяв контрольные точки и
слева и справа от
критической точки, убедимся, что производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, при
стоимость провоза груза
из А и С является наименьшей, если .
Если же , т. е.
, то шоссе должно пройти
по прямой АС (см. рисунок ниже).

  • Что такое производная
  • Найти производную: алгоритм и примеры решений
  • Производные произведения и частного функций
  • Производная суммы дробей со степенями и корнями
  • Производные простых тригонометрических функций
  • Производная сложной функции
  • Производная логарифмической функции
  • Дифференциал функции
  • Дифференциал сложной функции, инвариантность формы дифференциала
  • Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
  • Правило Лопиталя
  • Частные производные
  • Применение производной к исследованию функций
    • Экстремумы функции
    • Асимптоты
    • Возрастание, убывание и монотонность функции
    • Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба
    • Полное исследование функций и построение графиков
    • Функции двух и трёх переменных
    • Экстремумы функции двух переменных
    • Условные экстремумы и функция Лагранжа
Ссылка на основную публикацию