Метод замены переменной (метод подстановки)

Часто в студенческой практике встречаются интегралы, которые не могут быть сведены в простой способ по основным формулам. C введением новой независимой переменной, в таких случаях, удается превратить подынтегральная выражение . . Это позволяет свести интеграл к табличному или к такому, способ вычисления которого может быть известен. Замена переменной интегрирования является основой метода, который называется методом подстановки. Независимую переменную заменяют по формуле , где — дифференцированная функция от .

После этого находят

и интеграл превращают к виду

Если полученный интеграл с новой переменной интегрирования будет найдено, то превратив результат обратно к переменной, используя зависимость , найдем выражение заданного интеграла.

На первый взгляд вышеприведенные формулировки метода выглядят не такими простыми, как хотелось. Но поверьте, что за этим методом стоят не такие уж и тяжелые математические преобразования. Рассмотрев примеры, приведенные ниже и применяя методику на других интегралах, у Вас все получится. Если нет — присылайте тяжелые примеры нам, а мы со своей стороны постараемся их решить и опубликовать в следующих статьях. Итак переходим к вичислениям.

Примеры.

Вычислить интегралы

а)

б)

в)

г)

д)

Решение.

а) Вводим переменную такую, чтобы избавиться корня в знаменателе

Применяя изложенное к интегралу будем иметь:

Осталось не забыть в последнее выражение подставить замену, которую сделали в начале

Стоит отметить, что единой методики замены переменной нет. Каждый выбирает замену так, как подсказывает опыт и практика. Для данного примера можно взять за переменную целый знаменатель. Давайте сделаем это и посмотрим насколько изменится сложность вычислений.

Делаем замену переменных в интеграле и вычисляем его

Вы возможно заметили, что после второй замены переменных интеграл по сравнению с первой заменой, отличается на константу, которая равна . Это не является ошибкой, поскольку неопределенные интегралы могут отличаться на константу.

Как видим, обе замены переменных в данном случае эффективны.

б) Вводим такую подстановку, чтобы добывались корни в знаменателе

Подставляем в интеграл

Разделим числитель на знаменатель чтобы получить правильный дробь. После деления получим

Подставим в интеграл и проинтегрируем

Возвращаемся обратно к переменной

и заменяем в интеграле

Результат получили довольно быстро и замена переменных в этом случае очень помогла.

в) Для интеграла

вводим такую подстановку, которая позволяет избавиться корня в знаменателе

Проводим интегрирование

Возвращаемся к переменной

г)Замена переменных к заданию будет такой

Подставим в интеграл

д) Обозначим

и подставим в интеграл

На первый взгляд сложный интеграл методом замены переменных сведено к простому табличного интеграла. Самое главное в методе — удачно подобрать замену переменных. Дальнейшее решение, как правило, не слишком громоздкое и при хороших знаниях предыдущего материала быстро приводит к конечному результату.

Данный урок думаю принес Вам некоторую ясность в реализации метода подстановки. Обогащайте практические знания и до встречи в следующих уроках.

Ссылка на основную публикацию