Метод интегрирования по частям. Практическое применение

Из формулы дифференциала произведения интегрированием двух частей равенства получаем формулу интегрирования по частям

По этой формуле нахождения интеграла сводится к нахождению другого интеграла Применять эту формулу нужно в тех случаях, когда интеграл вида легко находиться. Если неправильно выбрать , то задача наоборот может усладнится. Для применения формулы интегрирования по частям к интегралу необходимо подынтегральное выражение представить в виде произведения двух множителей и . За всегда выбирают такое выражение, что содержит . Его интегрированием можно найти . За в большинстве случаев принимается функция, которая при дифференцировании упрощается.

Таким образом на первый взгляд тяжелые и непонятные, с точи зрения вычислений, интегралы можно быстро свести к табличному виду. Рассмотрим примеры интегрирования по частям.

Примеры.

Вычислить интегралы

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Решение

а)Данный интеграл один из классических в курсе высшей математики. Функции подбираем таким образом

Согласно формул интегрирования по частям имеем

б)Для данного интеграла выбираем в виде

По формуле получим

в)В данном случае фунции выбираем следующими

Подставляем в интеграл

Видим, что снова получили интеграл к которому нужно применить правило интегрирования по частям

Формулы для берем из предыдущего интегрирования. Подставляя в интеграл, получим

До последнего интеграла опять применяем правило

Вторая переменная остается без изменений. Остался один шаг до полного вычисления.

Подставляя в исходную формулу, получим

г) Выбираем в виде

По правилу получим

Последний интеграл найдем по правилу разложения

Окончательно получим

д) Фунции вибираем в виде

По правилу имеем

Для последнего интеграла находим

Переменная остается без изменений. Вычислим интеграл

Подставим в предыдущее выражение

е)Выбираем следующими

Осуществим интегрирования по частям

Теперь останется таким как было, а находим

Опять интегрируем

Можно заметить, что искомый интеграл и последний одинаковы. Обозначим их

При этом получаем зависимость

Из уравнения выражаем неизвестную

Такие интегралы встречаются очень редко, однако требуют особого внимания при их решении. Малейшая ошибка может привести к осложнению интеграла и искомого уравнения Вы не получите. Будьте внимательны при вычислениях.

Надеюсь, что с данного урока Вы много нужного для себя почерпнули. Практикуйте в решении задач и до встречи в следующих уроках.

Ссылка на основную публикацию