Как найти площадь плоской фигуры, которая ограничена кривыми?

Разберем готовые ответы к примерам на нахождение площади плоской фигуры, которая ограничена кривыми через двойные интегралы.
Задание не сложные, а вся схема нахождения площади требует всего трех вещей:
знание элементарных функций и умение искать точки их пересечения;
понимание как через криволинейные интегралы искать площадь, умение правильно расставлять пределы;
хорошых знаний теории вычисления интегралов, поскольку к этому все сводится.

ЗАДАНИЕ 4.1 Найти площадь плоской фигуры, которая образована линиями:
x=4-y2, x+2y=4.
Решение: Фигура ограничена x=4-y2— параболой с вершиной в точке O(4;0) и ветками влево;
но x+2y=4 — прямой, которая отрезается на осях в точках (4;0) и (0;2).
Найдем точки пересечения графиков функций из системы уравнений:

При ее решении получим две точки

График параболы и прямой приведен на рисунку

двойной интеграл
Запишем пределы интегрирования:
D: 0≤x≤4,
Здесь имеем y=√(4-x) — уравнение верхней части параболы x=4-y^2;
Вычислим площадь фигуры нахождением двойного интеграла:
площадь плоской фигуры
Площадь равна 1,33 единиц квадратных.

 

ЗАДАНИЕ 4.2 Найти площадь плоской фигуры, которая образована кривыми:
y=2-x, y2=4x+4.
Решение: y^2=4x+4 — парабола с вершиной в точке O (-1;0) и ветками вправо;
y=2-x, x+y=2 — прямая, которая отрезается на осях в точках (2;0) и (0;2).
Складываем систему уравнений для нахождения точек пересечения графиков заданных кривых:

При решении получим две точки

График области интегрирования имеет вид

площадь фигуры
Пределы в области D:
-6≤x≤2, 0,25y2-1≤y≤2-y.
Находим площадь фигуры через криволинейный интеграл:
площадь плоской фигуры
Кратный интеграл не трудно интегрировать.

 

ЗАДАНИЕ 4.3 Найти площадь плоской фигуры, которая образована линиями:
x2+y2=4, x2+y2=4x.
Решение: Область интегрирования ограничена x2+y2=4 — кругом с центром в точке O1(0;0) и радиусом R=2;
x2+y2=4x, x2-4x+4+y2=4, (x-2)2+y2=22 — круг с центром в точке O1(2;0) и радиусом R=2.
Найдем точки пересечения графиков заданных функций из системы уравнений:

отсюда

График фигуры, площадь которой ищем приведен на рисунку 
двойной интеграл
Расставим пределы в области D
(поскольку область симметрична относительно прямой y=0, то будем рассматривать ее половину, а результат умножим на 2):
D: 0≤y≤√3,
Здесь записали:
— уравнение левого полукруга (x-2)2+y2=4;
— уравнение правого полукруга x2+y2=4.
Вычислим площадь фигуры через двойной интеграл:
площадь интегрированием
При интегрировании получили арксинусы, дальше подставили пределы интегрирования и округлили конечные значения.

 

ЗАДАНИЕ 4.4 Найти площадь плоской фигуры, которая образована кривыми:
x2+y2=2x, x2+y2=4x, y=x, y=0.
Решение: Начнем вычисление с анализа того, что собой представляет фигура, площадь которой нужно найти.
Сведем уравнения к простому виду
x2+y2=2x, x2-2x+1 +y2=1, (x-1)2+y2=12 — круг с центром в точке O1(1;0) и радиусом R=1.
x2+y2=4x, x2-4x+4+y2=4, (x-2)2+y2=22 — круг с центром в точке O1(2;0) и радиусом R=2.
y=x — прямая, которая является биссектрисой первой и третьей четверти. 
Рисунок к задаче илюстрирует площадь которой фигуры нужно найти
двойной интеграл
Поскольку поверхность ограничена кругами, то целесообразно перейти к полярным координатам.

Найдем якобиан перехода:

Запишем заданные функции в полярной системе координат:

отсюда

отсюда
y=0, тогда
y=x, тогда
Это нам нужно, чтобы знать пределы в новой системе координат.
Пределы интегрирования в полярной системе координат:

Вычислением кратного интеграла находим площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми:
площадь фигуры, интеграл
Конечное значение площади можно еще округлить.
Из этого примера Вы ознакомились как искать площадь в полярной системе координат.
В следующей статье разберем еще несколько примеров на нахождение площади фигур интегрированием.

Ссылка на основную публикацию